On suppose qu’une fonction entière non constante \(f\) ne prends que des valeurs réelles sur deux droites sécantes du plan complexe.

Montrer que l’angle formé par ces deux droites est un multiple rationel de \(\pi\).


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[ID: 2977] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Une fonction entière prenant des valeurs réelles sur deux droites sécantes
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

Si les deux droites s’intersectent au point \(a\), quitte à considérer \(g(z)=f(z+a)-f(z)\), on peut supposer que \(a=f(a)=0\).

On a alors \(f(z)=bz^n(1+o(1))\) lorsque \(z\to 0\) avec \(b\neq 0\) et \(n\in\mathbb N^\star\). En particulier, \(f\) est sans zéros sur un voisinage épointé de l’origine (ou bien, invoquer les zéros isolés). Soient \(e^{i\alpha},\ e^{i\beta}\) les vecteurs directeurs de nos deux droites, pour \(t\in\mathbb R\) \(f(te^{i\alpha})\) et \((te^{i\beta})\) sont réels ; il en est donc de même de \[\lim_{t\to 0}\dfrac{f(te^{i\alpha})}{f(te^{i\beta})}= \lim_{t\to 0}\dfrac{ce^{in\alpha}t^n(1+o(1))}{ce^{in\beta}t^n(1+o(1))} =e^{in(\alpha-\beta)}\] i.e. \(in(\alpha-\beta)\in i\pi\mathbb Z\), finalement \(\alpha-\beta\in\pi\mathbb Q\).


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