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[ID: 2977] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Une fonction entière prenant des valeurs réelles sur deux droites sécantes
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

Si les deux droites s’intersectent au point \(a\), quitte à considérer \(g(z)=f(z+a)-f(z)\), on peut supposer que \(a=f(a)=0\).

On a alors \(f(z)=bz^n(1+o(1))\) lorsque \(z\to 0\) avec \(b\neq 0\) et \(n\in\mathbb N^\star\). En particulier, \(f\) est sans zéros sur un voisinage épointé de l’origine (ou bien, invoquer les zéros isolés). Soient \(e^{i\alpha},\ e^{i\beta}\) les vecteurs directeurs de nos deux droites, pour \(t\in\mathbb R\) \(f(te^{i\alpha})\) et \((te^{i\beta})\) sont réels ; il en est donc de même de \[\lim_{t\to 0}\dfrac{f(te^{i\alpha})}{f(te^{i\beta})}= \lim_{t\to 0}\dfrac{ce^{in\alpha}t^n(1+o(1))}{ce^{in\beta}t^n(1+o(1))} =e^{in(\alpha-\beta)}\] i.e. \(in(\alpha-\beta)\in i\pi\mathbb Z\), finalement \(\alpha-\beta\in\pi\mathbb Q\).