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[ID: 2975] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Une preuve presque holomorphe du théorème de Cayley-Hamilton
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

1. Si nous munissons \(M_n(\mathbb C)\) de la norme \(\Vert A\Vert :=\text{max} \lbrace \vert a_{i,j}\vert,\ 1 \leq i,j\leq n\rbrace,\ A=((a_{i,j}))\in M_n(\mathbb C)\), on vérifie par une récurrence élémentaire que \[\forall\, A\in M_n(\mathbb C),\ k\in\mathbb N^\star\ :\ \Vert A^k\Vert \leq n^{k-1}\Vert A\Vert^k.\] Ces inégalités assurent que le rayon de convergence de la série entière \(\sum_k \Vert A^k\Vert z^k\) est supérieur ou égal à \((n\Vert A\Vert)^{-1}\) et par suite, la série de matrices \(\sum_k \zeta^{-(k+1)}A^k\) converge dans \(M_n(\mathbb C)\) normalement sur tout compact de \(\mathbb C\setminus \overline{D(0,n\Vert A\Vert)}\). On vérifie alors (classiquement) \[(\zeta I_n-A)\left( \sum_{k=0}^\infty \zeta^{-(k+1)}A^k\right)=\lim_{N\to\infty}\left( I_n-\zeta^{-(N+1)}A^{N+1}\right) =I_n,\ \forall\,\vert\zeta\vert > n\Vert A\Vert.\] Autrement dit \[\begin{cases} \zeta I_n-A\in GL_n(\mathbb C),\quad \forall\,\vert\zeta\vert > n\Vert A\Vert\\ ( \zeta I_n-A)^{-1}=\sum_{k=0}^\infty \zeta^{-(k+1)}A^k,\quad \forall\,\vert\zeta\vert > n\Vert A\Vert. \end{cases}\] La normale convergence sur tout cercle \(C(0,r),\ r>n\Vert A\Vert\) assure l’échange \(\int\sum=\sum\int\) ci-dessous \[\begin{aligned} \dfrac{1}{2i\pi}\int_{C(0,r)} \zeta^k ( \zeta I_n-A)^{-1} d\zeta &= \dfrac{1}{2i\pi}\int_{C(0,r)} \zeta^k \left( \sum_{l=0}^\infty \zeta^{-(l+1)}A^l\right) d\zeta\\ &=\sum_{l=0}^\infty A^l \dfrac{1}{2i\pi}\int_{C(0,r)} \zeta^{k-l-1}d\zeta\\ &=\sum_{l=0}^\infty A^l \dfrac{1}{2i\pi}\int_0^{2\pi} \left( r e^{i\theta}\right)^{k-l-1}ire^{i\theta}d\theta\\ &=\sum_{l=0}^\infty r^{k-l}A^l \dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} e^{i\theta(k-l)}d\theta\\ &= A^k,\quad \forall k\in\mathbb N. \end{aligned}\]

2. Cette formule étant vérifiée pour tout entier \(k\), la linéarité de l’intégrale nous assure que \[P(A)= \dfrac{1}{2i\pi}\int_{C(0,r)} P(\zeta) ( \zeta I_n-A)^{-1} d\zeta,\quad\forall\,P\in\mathbb C[z],\quad r>n\Vert A\Vert.\] (remarquer l’analogie avec la formule de Cauchy \(f(z)=\dfrac{1}{2i\pi}\int_{C(0,r)}\dfrac{f(u)}{u-z}du,\ \vert z\vert<r\), ici \(\Vert A\Vert\leq n\Vert A\Vert<r\)....)

   En particulier pour le polynôme caractéristique de \(A\) : \(P(z)=P_A(z)=\det(zI_n-A)\) (ou \(\det(A-zI_n)\) selon l’usage) \[P_A(A)= \dfrac{1}{2i\pi}\int_{C(0,r)} P_A(\zeta) ( \zeta I_n-A)^{-1} d\zeta= \dfrac{1}{2i\pi}\int_{C(0,r)} \det(\zeta I_n-A) ( \zeta I_n-A)^{-1} d\zeta,\] comme \[( \zeta I_n-A)^{-1}=\left[ \det(\zeta I_n-A)\right]^{-1}\ \!^t\text{com}(\zeta I_n-A)=\left[ \det(\zeta I_n-A)\right]^{-1} ((C_{i,j}(\zeta)))\] où \(C_{i,j}(\zeta)\) est le cofacteur d’indice \(j,i\) de \(\zeta I_n-A\), donc un polynôme en \(\zeta\), donc d’intégrale nulle sur tout cercle \(C(0,r)\), nous avons finalement \[P_A(A)=\dfrac{1}{2i\pi}\int_{C(0,r)} ((C_{i,j}(\zeta))) d\zeta=0\] i.e. \[P_A(A)=0,\quad\forall\,A\in M_n(\mathbb C).\] Le théorème de Cayley-Hamilton est bien démontré.