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[ID: 2971] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

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Calcul de \(\zeta(2)\) par la méthode des résidus
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

L’ensemble des pôles de \(f\) est \(\mathbb Z\) et après un calcul classique, le résidu de \(f\) à l’origine vaut \(\text{res}(f,0)=-\frac{\pi^2}{3}\) et en un entier \(n\in\mathbb Z^\star\ :\ \text{res}(f,n)= \frac{1}{n^2}\).

Soit \(\gamma_N\) (\(N\geq 1\)) le contour rectangulaire de sommets \((\pm 1\pm i)(N+\frac{1}{2})\), par le théorème des résidus \[-\dfrac{\pi^2}{3}+2\sum_{n\geq 1}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_N} f(z)dz:=I_n.{(\bigstar)}\] Maintenant pour \(\pi z=x+iy\in\mathbb C\) un petit calcul nous donne \[\vert\text{cotan}(\pi z)\vert^2=\dfrac{\cos^2(x)+\text{sh}^2(y)}{\sin^2(x)+\text{sh}^2(y)},\] soit, si \(z\) parcourt les cotés verticaux de \(\gamma_N\) \[\vert\text{cotan}(\pi z)\vert^2=\dfrac{\text{sh}^2(y)}{\sin^2(x)+\text{sh}^2(y)}<1\] alors que sur les cotés horizontaux \[\vert\text{cotan}(\pi z)\vert^2=\dfrac{1+\text{sh}^2(\pi(N+\frac{1}{2}))}{\text{sh}^2(\pi(N+\frac{1}{2}))} =\text{coth}^2(\pi(N+\frac{1}{2}))\leq\text{coth}^2(\frac{\pi}{2})\] si bien que \(z\mapsto\vert\text{cotan}(\pi z)\vert\) est uniformément (en \(N\)) )bornée sur tout contour \(\gamma_N\) par \(\text{coth}(\frac{\pi}{2})\) et par suite \[\forall N\in\mathbb N^\star\quad :\quad \vert f(z)\vert\leq \dfrac{\pi\text{coth}(\frac{\pi}{2})}{(N+\frac{1}{2})^2},\quad\forall\,z\in\gamma_N.\] Estimation qui assure \[\vert I_N\vert \leq \dfrac{8\pi\text{coth}(\frac{\pi}{2})(N+\frac{1}{2})}{2\pi(N+\frac{1}{2})^2} \longrightarrow \,0\quad\text{si }\ N\to +\infty.\] avec \((\bigstar)\) on tire aussitot \(\zeta(2)=\dfrac{\pi^2}{6}.\)