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[ID: 2969] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Baireries dans \(\mathscr O(\Omega)\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

1. Il est suffisant de montrer que la suite \((f_k)_k\) converge uniformément sur toute boule fermée \(\overline{B(b,\delta)}\subset\Omega\). Comme \(a\in\partial\Omega\), il existe \(\delta_0>0\) tel que \[\vert z-a\vert\geq \delta_0,\ \forall\,z\in\overline{B(b,\delta)}\ ;\] il existe aussi une constante \(C>0\) telle que \[\sup_{z\in\overline{B(b,\delta)}}\vert 2n-f(z)\vert\leq C.\] Ces deux inégalités impliquent que \[\begin{aligned}\vert f_k(z)-f(z)\vert&=\left\vert\dfrac{z_k-a}{z-a}\right\vert\cdot\vert 2n-f(z)\vert\\ &\leq \vert z_k-a\vert\cdot\dfrac{C}{\delta_0}\underset{k\to\infty}{\longrightarrow}0 \end{aligned}\] pour tout \(z\in\overline{B(b,\delta)}\). on a donc \[\lim_{k\to\infty}\sup_{z\in\overline{B(b,\delta)}}\vert f_k(z)-f(z)\vert=0\] la suite \((f_k)_k\) est bien uniformément convergente vers \(f\) sur tout disque \(\overline{B(b,\delta)}\subset\Omega\) i.e. \(f_k\to f\) dans \(\mathscr O(\Omega)\).

2. Vérifions que pour toute fonction \(f\in\mathscr E_n\) on a \(f_k\not\in\mathscr E_n\) pour tout \(k\in\mathbb N\). Pour cela on peut écrire \[\begin{aligned}\vert f_k(z)\vert &\geq -\vert f(z)\vert+\left\vert\dfrac{z-z_k}{z-a}\right\vert\cdot\vert f(z)-2n\vert\\ &\geq -\vert f(z)\vert+\left\vert\dfrac{z-z_k}{z-a}\right\vert\cdot(2n-f(z)),\quad\forall\,z\in\Omega\\ &\geq -p+\left\vert\dfrac{z-z_k}{z-a}\right\vert\cdot(2n-n),\quad\forall\,z\in D(a,r)\cap\Omega\\ &\geq -p+\left\vert\dfrac{z-z_k}{z-a}\right\vert\cdot n\ \underset{z\to a}{\longrightarrow}+\infty, \end{aligned}\] les applications \(f_k\) ne sont donc pas bornées sur \(D(a,r)\cap\Omega\) : \(f_k\not\in\mathscr E_n\) pour tout \(k\in\mathbb N\). Mais comme \(f_k\to f\) dans \(\mathscr O(\Omega)\), la fonction \(f\) n’est pas intérieure à \(\mathscr E_n\) ; \(f\) étant arbitraire, chaque ensemble \(\mathscr E_n\) est d’intérieur vide.

3. Une suite \((g_k)_k\subset\mathscr E_n\) convergente dans \(\mathscr O(\Omega)\) vers une fonction \(g\) converge en particulier simplement sur \(\Omega\) et donc sur \(D(a,r)\cap\Omega\). Ainsi, \(\forall\,z\in D(a,r)\cap\Omega\), \[\bigl(\vert g_k(z)\vert\leq n\quad \&\quad \lim_k g_k(z)=g(z)\bigr) \Longrightarrow \vert g(z)\vert\leq n\] soit \(g\in\mathscr E_n\) qui est bien fermé dans \(\mathscr O(\Omega)\).

4. Vu ce qui précède, \[\mathscr O(\Omega)\cap L^\infty(D(a,r))=\{\, f\in\mathscr O(\Omega)\ \rm{et\ bornées\ sur }\ D(a,r)\cap\Omega\,\}=\bigcap_{n\in\mathbb N}\,\mathscr E_n\] est maigre dans \(\mathscr O(\Omega)\) comme réunion des ensembles rares \(\mathscr E_n\) .

5. Soit \(f\in\mathscr F\), il existe un domaine \(\Delta_f\underset{\neq}{\supset}\Omega\) tel que \(f\in\mathscr O(\Omega)\) ; il existe donc \(a\in\partial\Omega, r>0\), tels que \(\overline D(a,r)\subset\Delta_f\) et par suite \(f\) est bornée sur \(D(a,r)\), donc sur \(D(a,r)\cap\Omega\) : il existe donc \(n\in\mathbb N\) tel que \(f\in\mathscr E_{n,a}:=\left\lbrace \,f\in\mathscr O(\Omega)\ :\ \vert f(z)\vert\leq n,\ \forall\,z\in D(a,r)\cap\Omega\,\right\rbrace\). On considère alors une partie dénombrable dense \(A\subset \partial\Omega\) et la suite \((D_n)_n\) des disques centrés en \(a\in A\) à rayons rationnels et enfin les ensembles \[\mathscr E_n^l:=\left\lbrace \,f\in\mathscr O(\Omega)\ :\ \vert f(z)\vert\leq n,\ \forall\,z\in D_l\cap\Omega\,\right\rbrace.\] Vu ce qui précède, les ensembles \(\mathscr E_n^p\) sont rares et \(\mathscr F\subset\bigcup_{n,l}\,\mathscr E_n^l\) est donc maigre.

   \(\mathscr O(\Omega)\) étant un espace de baire, \(\mathscr F\) maigre implique que \(\mathscr G=\mathscr O(\Omega)\setminus\mathscr F\) est non maigre et partout dense.

6. Soit \(f\in\mathscr O(\Omega)\) et considérons l’application \(\Lambda_f\ \mathscr O(\Omega)\ni g\mapsto \Lambda_f(g)=f-g\). C’est un isomorphisme topologique de \(\mathscr O(\Omega)\) et par conséquent \(\Lambda_n(\mathscr G)\) est une partie non maigre de \(\mathscr O(\Omega)\) ; en particulier \(\Lambda_n(\mathscr G)\cap\mathscr G\neq \emptyset\). Il existe donc \(g\in\mathscr G\) tel que \(h=\Lambda_f(g)=f-g\in\mathscr G\). \(f\) étant arbitraire, on a bien \(\mathscr O(\Omega)=\mathscr G+\mathscr G\).