Dans le plan, on considère un cercle \(\mathcal{C}\) et un point \(O\) de ce cercle. Déterminez l’ensemble des projections orthogonales du point \(O\) sur les tangentes au cercle \(\mathcal{C}\).


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[ID: 216] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:59] [Catégorie(s): Coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1052
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:59
  1. Choix du repère. Notons \(\Omega\) le centre du cercle. Considérons le repère orthonormé direct \(\mathcal{R} = (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) avec \(\overrightarrow{i} = \dfrac{O\Omega}{\lVert O\Omega \rVert_{ }}\). Dans ce repère, \(\Omega \underset{}{\left|\begin{matrix} R\\0 \end{matrix}\right.}\) et l’équation du cercle \(\mathcal{C}\) s’écrit \[(x-R)^2 + y^2 = R^2\]

  2. Soit \(\theta \in [0, 2\pi]\) et \(M_{\theta} \underset{}{\left|\begin{matrix} a+R\cos\theta \\ R\sin\theta \end{matrix}\right.}\) un point du cercle. L’équation cartésienne de la tangente au point \(M_{\theta}\) au cercle s’écrit \[(T_{\theta}) : \cos\theta(x-R) + \sin\theta y = R\] Notons \(H_{\theta}\) la projection orthogonale du point \(O\) sur la droite \(T_{\theta}\). Puisque le vecteur \(\overrightarrow{n} \underset{}{\left|\begin{matrix} \cos\theta\\\sin\theta \end{matrix}\right.}\) dirige la normale en \(M_{\theta}\), \(H_{\theta} = O + \lambda \overrightarrow{n}\). Comme le point \(H\) appartient à la droite \(T_{\theta}\), on trouve \(\lambda = R(1+\cos \theta)\), on obtient les coordonnées polaires du point \(H_{\theta}\) : \[\rho = R(1 + \cos \theta)\] On reconnaît une cardioïde (voir la section page ).


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