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[ID: 210] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:59] [Catégorie(s): Coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]

Solution(s)

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Exercice 1049
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:59

1. L’équation normale de la droite d’équation \(y=\sqrt{3}x\) est \({\scriptstyle\sqrt{3}\over\scriptstyle 2}x-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}y=0\). Si \(\left(r,\theta\right)\) est un couple de coordonnées polaires pour \(\left(x,y\right)\), on a : \(\begin{cases} x=r\cos \theta \\ y =r\sin \theta\end{cases}\) et \(r{\scriptstyle\sqrt{3}\over\scriptstyle 2}\cos \theta-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}r\sin \theta=0\), ce qui amène : \(r\cos\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}+\theta\right)=0\) c’est-à-dire .

2. De la même façon, l’équation normale de la droite d’équation \(x+y+2=0\) est \({\scriptstyle\sqrt{2}\over\scriptstyle 2}x + {\scriptstyle\sqrt{2}\over\scriptstyle 2} y+\sqrt{2}=0\), ce qui s’écrit encore : \(x\cos {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}+y\sin {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4} +\sqrt{2}=0\). On a donc : \(r\cos\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}-\theta\right)=-\sqrt{2}\). Une équation polaire de la droite est alors : \(r=\dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\pi - {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}+\theta\right)}\), c’est-à-dire :

3. Par la même méthode, on trouve pour l’équation normale \({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}x+{\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 2}y-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}=0\) et pour l’équation polaire .