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[ID: 2967] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:39] [Catégorie(s): Calcul différentiel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

L’équation fonctionnelle de d’Alembert \(2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:39

Si une application \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) vérifie l’équation fonctionnelle (\(\star\)) alors, en faisant \(x=y=0\) il vient \(2f(0)^2=2f(0)\) soit \(f(0)=0\) ou \(f(0)=1\). De là si \(f(0)=0\), alors pour tout \(x\in\mathbb R\) \[0=2f(x)f(0)=f(x+0)+f(x-0)=2f(x),\] \(f\) est donc identiquement nulle.

Nous excluons dorénavant ce cas, et supposons donc que \(f(0)=1\).

Si \(f(0)=1\), pour \(x=0\) l’équation (\(\star\)) devient \[2f(y)=2f(y)f(0)=f(0+y)+f(0-y)=f(y)+f(-y)\] i.e. \[f(y)=f(-y),\qquad\forall\,y\in\mathbb R.\] \(f\) est donc paire.

\(f\) étant supposée continue sur \(\mathbb R\), elle y est locament intégrable ; par conséquent, on a pour tout \(t>0\) \[\int_{-t}^t\,2f(x)f(y)dy=\int_{-t}^t\,f(x+y)dy+\int_{-t}^t\,f(x-y)dy,\] soit, aprés un changement de variable dans les intégrales de droite \[2f(x)\int_{-t}^t\,f(y)dy=2\int_{x-t}^{x+t}f(y)dy.{(1)}\] Remarquons que dans (1), le second membre est une fonction dérivable de la variable \(x\), il en donc de même pour le terme de gauche et \(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb R\). En réitérant ce processus, \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb R\) puis de proche en proche \(\mathscr C^\infty\). Il est donc légitime de dériver (1) : \[2f'(x) \int_{-t}^t\,f(y)dy=2\left[ f(x-t)-f(x-t)\right]\] qui donne pour \(x=0\) \[2f'(0) \int_{-t}^t\,f(y)dy=2\left[ f(-t)-f(-t)\right]=0,\quad \forall\,t>0,.{(2)}\] car \(f\) est une fonction paire ; mais aussi comme \(f(0)=1\), la continuité de \(f\) nous assure qu’il existe \(t>0\) tel que \[\int_{-t}^t\,f(y)dy>0.{(2)}\] Si dans (3), on choisit \(t>0\) assez petit pour que (2) soit valide, on en déduit \[f'(0)=0.\] Dérivons maintenant deux fois (\(\star\)) par rapport à la variable \(y\), on obtient \[2f(x)f''(y)=f''(x+y)+f''(x-y)\] qui pour \(y=0\) donne \[2f(x)f''(0)=2f''(x),\quad x\in\mathbb R.\] En posant \(C=f''(0)\), les solutions de l’équation fonctionnelle (\(\star\)) sont aussi solutions de l’équation différentielle \[(\mathscr E)\quad\begin{cases} f''(x)&=Cf(x),\quad x\in\mathbb R,\\ f(0)&=0,\\ f'(0)&=1. \end{cases}\] Suivant \(C\) on a trois types de solutions \[f(x)=\begin{cases} &C_1x+C_2\quad \text{si }\ C=0\\ &C_1\rm{sh}(cx)+C_2\rm{ch(cx)}\quad\text{si }\ C>0\ \text{avec }\ c=\sqrt{C}\\ &C_1\sin(cx)+C_2\cos(cx)\quad\text{si }\ C<0\ \text{ avec }\ c=\sqrt{-C}. \end{cases}\] avec les conditions initiales \(f(0)=1,\ f'(0)=0\), les solutions de \((\mathscr E)\) sont finalement \[f\equiv 0,\quad f\equiv 1,\quad f(x)=\rm{ch(cx)},\quad f(x)=\cos(cx).\] Réciproquement, on montre qu’elles sont bien des solutions de l’équation fonctionnelle (\(\star\)).