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[ID: 2965] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:39] [Catégorie(s): Calcul différentiel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Résolution de l’équation \(f(x)=1-\int_0^x(t+x)f(x-t)dt.\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:39

Le changement de variable \(u=x-t\) assure que \(f\) est de classe \(\mathscr C^1\) et légitimise une dérivation de l’équation (\(\star\)) qui devient \[f'(x)+xf(x)+2\int_0^xf(u)du=0,\qquad \& \quad f(0)=1.\] La fonction \(F(x)=\int_0^xf(u)du\) est classe \(\mathscr C^2\) et vérifie \(F'=f\). Il est donc équivalent de résoudre l’équation différentielle \[\begin{cases}F''(x)+xF'(x)+2F(x)=0\\ F(0)=0\quad\text{et}\quad F'(0)=1. \end{cases}{(\text{$\star$})}\] La recherche d’un solution développable en série entière \(\sum_{n}a_nx^n\) de cette dernière conduit aux relations \[a_{n+2}=-\dfrac{a_n}{n+1},\qquad a_0=1,\ a_1=1\] qui elles même conduisent à \[\forall\,n\in\mathbb N,\qquad a_{2n}=0,\ a_{2n+1}=\dfrac{(-1)^n}{2^n n!}\] soit \[F(x)=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{2^n n!}x^{2n+1}=x\exp\left( -\dfrac{x^2}{2}\right).\] L’application \(x\mapsto xe^{-x^2/2}\) vérifie (\(\star\)) et le théorème de Cauchy-Lipschitz permet d’affirmer que c’est la seule. Par conséquent, la seule solution continue \(f\) du problème (\(\star\)) est définie sur \(\mathbb R\) par \[f(x)=F'(x)=(1-x^2)\exp\left( -\dfrac{x^2}{2}\right).\]