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[ID: 2963] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:39] [Catégorie(s): Calcul différentiel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Domaine de définition des solutions maximales de \(X'(t)=X^2(t)\) à valeurs dans \(M_n(\mathbb C)\).
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:39

La fonction \(M \mapsto M^2\) de \({M}_n (\mathbb{C})\) dans \({M}_n (\mathbb{C})\) est de type polynomial, donc \({\mathscr C}^1\) par rapport à \(M\) considérée comme un \(2n^2\)-uplet de réels. Le problème posé est de Cauchy et admet une et une seule solution maximale. Il reste à voir si cette solution est définie sur \(\mathbb{R}\). Calculons cette solution.

Dans le cas du problème de Cauchy en dimension 1 : \({dy \over dt} = y^2\) ; \(y(0) = a\), on trouve aisément \(y = a(1-ta)^{-1}\). On peut donc se demander si \(t \mapsto A(1-tA)^{-1}\) est solution. Posons \(\Phi (t) = A(I-tA)^{-1}\).

Cette fonction \(\Phi\) est définie sur un intervalle entourant 0 : le plus grand qui ne contient aucun inverse de valeur propre de \(A\). Les coefficients de \(\Phi\) sont fonctions rationnelles de \(t\) et \(\Phi\) est donc mieux que \({\mathscr C}^1\). De plus \(\Phi (0)=A\). Enfin \(\Phi (t) (I-tA) = A\) ; dérivons : \(\Phi ^\prime (t) (I-tA) - \Phi (t)A = 0\) ; donc \[\Phi ^\prime (t) = \Phi (t)A(I-tA)^{-1} = \Phi (t)^2.\]

La solution cherchée est bien :

\[t \mapsto A(I-tA)^{-1}.\]

Elle est définie sur \(\mathbb{R}\) si et seulement si \(A\) ne possède aucune valeur propre réelle non nulle.-