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[ID: 2961] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:39] [Catégorie(s): Calcul différentiel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Étude de \(y'=\exp(-xy)\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:39

-Redevable du théorème de Cauchy-Lipschitz, le problème de Cauchy \((\mathscr E)\) admet une solution maximale \(f\) définie sur un intervalle ouvert \(I\) contenant l’origine.

-Pour \(x\in-I\) posons \(g(x)=-f(-x)\), \(g\) est encore solution de \((\mathscr E)\), \(f\) étant maximale : \(-I\subset I\) et \(f_{/{-I}}=g\) soit \(-I=I\ \&\ f=g\) i.e. \(f\) est impaire et \(I=]-\alpha,\alpha[\) avec \(0<\alpha\leq+\infty\).

Si \(\alpha<+\infty\) de \(f'(x)=\exp(-xf(x))\) sur \(I\) on peut dire que \(f\) est strictement croissante sur \(I\). On peut aussi dire que \(0\leq f'(x)\leq 1\), avec \(f(0)=0\), et si on intègre cette inégalité sur \([0,x]\) il vient :

\[\forall\,x\in I,\ x\geq 0\,\Longrightarrow 0\leq f(x)\leq x.\qquad (\bigstar)\]

\(f\) est donc croissante sur \(I=[-\alpha,,\alpha]\), majorée par \(\alpha\), elle admet donc une limite en \(\alpha_-\) vérifiant

\[0\leq \lim_{x\to\alpha_-}f(x)=\lambda\leq \alpha\]

Il suffit maintenant de poser \(f(\alpha)=\lambda\) et de vérifier (sans peine) que ce prolongement qui est \(C^1\) fournit une solution de \((\mathscr E)\) sur \(]-\alpha,\alpha]\) qui contredit la maximalité de \(f\) (en effet par Cauchy-Lipschitz, un tel phénomène assure que la solution maximale est définie sur un intervalle ouvert \(J\) contenant strictement \(]-\alpha,\alpha]\) (et donc \(I\)) ce qui contredit la définition de \(f\)...). En conclusion, la solution maximale est bien définie sur \(\mathbb R\).

-Soit \(x\geq 1\), \(f\) strictement croissante, positive sur \([1,+\infty[\) implique \[0<f'(x)\leq \exp(-xf(1)).\] \(f'\) est donc intégrable sur \([1,+\infty[\) et par suite \(f\) admet une limite \(l\) en \(+\infty\) (\(f(x)=\int_0^xf'(t)dt\)...). Alors

\[\left(f'(x)=\exp(-xf(x))\quad\&\quad f(x)<l,\ \forall\,x\geq 1\right) \Longrightarrow \left( f'(x)>\exp(-xl),\ x\geq 1\right)\]

et

\[\Longrightarrow\quad \left(l=\int_0^\infty f'(t)dt >\int_0^\infty \exp(-tl)dt={1\over l}\right) \Longrightarrow\quad l>1\]

Enfin, par le théorème des valeurs intermédiaires il existe \(a>0\) tel que \(f(a)=1\) :

\[x>a\quad\Longrightarrow f'(x)<\exp(-x)\]

i.e.

\[1-l=\int_a^\infty f'(t)dt < \int_a^\infty e^{-t}dt= e^{-a}\]

mais, vu \((\bigstar)\), \(1=f(a)\leq a\), et finalement

\[l\leq 1+{1\over e}.\]