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[ID: 2959] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:39] [Catégorie(s): Calcul différentiel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Étude de \(xy'=x+y^2\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:39

1. Soit \((I,\varphi)\) une solution de \((\bigstar)\) et \(a\) un point intérieur à \(I\) (donc \(a>0\)). Pour \(x\in I\cap]a,+\infty[\) : \[\forall\,t\in[a,x]\quad :\quad {1\over t}\leq {\varphi'(t)\over t+\varphi^2(t)}\leq {\varphi'(t)\over a+\varphi^2(t)}\] en intégrant sur \([a,x]\) \[\log\left({x\over a}\right)\leq {1\over \sqrt a}\left( \text{ arctan}\left({\varphi(x)\over\sqrt a}\right) -\text{arctan}\left({\varphi(a)\over\sqrt a}\right)\right)\leq {\pi\over\sqrt a}\] si bien que \[\forall\,x\in I\cap]a,+\infty[\quad :\quad x\leq ae^{{\pi\over\sqrt a}}.\] \(I\) est donc majoré et finalement borné.

2. L’application \((x,y)\longmapsto {1\over x}(x+y^2)\) est de classe \(\mathscr C^1\) sur \(]0,+\infty[\times\mathbb R\) ; le théorème de Cauchy-Lipschtiz assure donc que les solutions maximales de \((\bigstar)\) sont définies sur des intervalles ouverts. Vu la question précédente ils sont donc de la forme \(I=]a,b[\) avec \(a>0\) ou \(]0,b[\) avec \(0<b<+\infty\).

   Soit donc \((I,\varphi)\) une solution maximale, \(\forall\,t\in I\ :\ \varphi'(t)>0\), \(\varphi\) est donc strictement croissante sur \(I\) et admet donc aux extrémités de l’intervalle des limites (finies ou infinies).

   Au voisinage de \(b\) : si \(\varphi\) admet une limite finie \(L\) au point \(b\), alors \(\varphi'(t)={1\over t}(t+\varphi^2(t))\) admet en \(b\) la limite \(l={1\over b}(b+L^2)\) et le théorème de prolongement des applications de classe \(\mathscr C^1\) vous assure que si on prolonge \(\varphi\) au point \(b\) en posant \(\varphi(b)=L\), \(\varphi\) est alors de classe \(\mathscr C^1\) sur \(]a,b]\) avec \(\varphi'(b)={1\over b}(b+L^2)={1\over b}(b+\varphi^2(b))\) si bien que \((]a,b],\varphi)\) est encore solution de \((\bigstar)\) contredisant bien évidemment la maximalité de \((]a,b[,\varphi)\). Nécessairement : \(\lim_{t\to b_-}\varphi(t)=+\infty\).

   Le même raisonemment montrer que si \(I=]a,b[\) avec \(a>0\), alors \(\lim_{t\to a_+}\varphi(t)=-\infty\)

   Supposons maintenant que \(I=]0,b[\), soit \(\eta\in I\) et \(x\in]0,\eta]\). On a \[\forall\,t\in[x,\eta]\quad :\quad t\varphi'(t)\geq \varphi^2(t)\] soit \[\forall\,t\in[x,\eta]\quad :\quad{\varphi'(t)\over\varphi^2(t)}\geq {1\over t}\] et en intégrant sur \([x,\eta]\) \[\forall\,x\in]0,\eta]\quad :\quad{1\over \varphi(x)}-{1\over\varphi(\eta)}\geq \log\left({\eta\over x}\right)\] mais le terme de droite tends vers \(+\infty\) lorsque \(x\) tends vers \(0_+\), il en est donc de même du terme de gauche ce qui nécessite \(\lim_{t\to 0_+}\varphi(t)=0\).