Barre utilisateur

[ID: 2957] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:39] [Catégorie(s): Calcul différentiel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Étude de \(y'=y^2\sin^2(y)\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:39

La fonction \(f(x,y)=y^2\sin^2(y)\) est de classe \(\mathscr C^1\) sur \(\mathbb R^2\). On peut donc appliquer le théorème de Cauchy-Lipschtiz : pour tout \((x_0,y_0)\in\mathbb R^2\), il existe une unique solution maximale \(\varphi\) de \((\bigstar)\) vérifiant \(\varphi(x_0)=y_0\) et définie sur un intervalle ouvert \(]a,b[\).

Il y a des fonctions constantes solutions de notre équation, ce sont les fonctions \(y=k\pi,\ k\in\mathbb Z\).

Considérons maintenant une solution maximale \(\varphi\) non constante définie sur un intervalle \(]a,b[\) ; vu ce qui précède, \(\varphi(]a,b[)\subset\mathbb R\setminus\pi\mathbb Z\). Il existe donc \(k_0\in\mathbb Z\) tel que \(\varphi(]a,b[)\subset]k_0\pi,(k_0+1)\pi[\) et toute solution maximale est bornée.

Supposons \(b<+\infty\), la fonction \(\varphi\) étant croissante (\(y'=y^2\sin^2(y)\geq 0...\)) et majorée, \(\varphi\) admet une limite finie en \(b\) prolongons ainsi continuement \(\varphi\) à \(]a,b]\). Le prolongement \(\psi\) est continu sur \(]a,b]\), \(\mathscr C^1\) sur \(]a,b[\) et \(\psi'(x)\) admet une limite (égale à \(\psi^2(b)\sin^2 (\psi(b))\))lorsque \(x\) tends vers \(b_-\). Dans ces conditions, il est classique que \(\psi\) est \(\mathscr C^1\) sur \(]a,b]\) contradisant la maximalité de \(\varphi\). La seule alternative est donc \(b=+\infty\). On montre de même que \(a=-\infty\).

La fonction \(\varphi\) croissante majorée a une limite \(l\) en \(+\infty\). Si \(l\not\in\pi\mathbb Z\) \(\lim_{x\to+\infty}\varphi'(x)=l^2\sin^2(l)>0\) ce qui est absurde puisque \(\varphi\) est bornée (exercice...) : ainsi \(l\in\pi\mathbb Z,\ \lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=l=(k_0+1)\pi,\ \lim_{x\to-\infty}\varphi(x)=k_0\pi\).