Trouver les solutions maximales de l’équation différentielle \[y'=y(y-1){(\bigstar)}\]


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[ID: 2955] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Calcul différentiel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Étude de \(y'=y(y-1)\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:38

L’application \(f(x,y)=y(y-1)\) est de classe \(\mathscr C^1\) sur \(\mathbb R^2\), l’équation différentielle satisfait donc les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz. En particulier deux solutions qui coincident en un point coincident en tout point où elles sont toutes deux définies et deux solutions maximales égales en un point sont égales. Comme visiblement les constantes \(0\) et \(1\) sont solutions sur \(\mathbb R\) de notre équation il en résulte que tout autre solution maximale de \((\bigstar)\) ne prends jamais les valeurs \(0\) et \(1\). Le théorème des valeurs intermédiaires nous garantit alors qu’une telle solution est à valeurs dans l’un des trois intervalles \(]-\infty,0[,\ ]0,1[\) et \(]1,+\infty[\).

Soit \(y\) une solution maximale vérifiant \(y(x_0)=y_0\), on a alors : \[y'=y(y-1)\iff{y'\over y(y-1)}=1\iff \int_{y_0}^{y(x)}{du\over u(u-1)}=x-x_0\] comme \({1\over u(u-1)}={1\over u-1}-{1\over u}\), il existe une constante \(\lambda\) telle que \[\log\left({y(x)-1\over y(x)}\right)=x+\lambda\] vu les remarques préliminaires, la fonction \(x\mapsto {y(x)-1\over y(x)}\) est de signe constant, on a donc \({y(x)-1\over y(x)}=\mu e^x\) soit \[y(x)={1\over 1-\mu e^x},\quad \mu\in\mathbb R^\star.\] Si \(\mu<0\), \(x\mapsto {1\over 1-\mu e^x}\) définie sur \(\mathbb R\) est une solution maximale à valeurs dans \(]0,1[\). Par contre, si \(\mu>0\) on obtient deux solutions évidemment maximales \(x\mapsto {1\over 1-\mu e^x}\) définie sur \(]-\infty,-\log\mu[\) à valeurs dans \(]1,+\infty[\) et \(x\mapsto {1\over 1-\mu e^x}\) définie sur \(]-\log\mu,+\infty[\) et à valeurs dans \(]-\infty,0[\)


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