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[ID: 2953] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Calcul différentiel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Extrémas et convexité
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:38

1. Soit \(\delta>0\) tel que \(B(a,\delta)\subset V\). La formule de Taylor avec reste intégral ([rou], théorème 6.3 page 279) assure que pour tout \(h\in E\) vérifiant \([a,a+h]\subset U\) \[f(a+h)-f(a)-Df(a)(h)=f(a+h)-f(a)=\int_0^1\dfrac{(1-t)^1}{1!}D^2f(a+th)(h,h)dt\] Alors \(\Vert h\Vert<\delta\) implique \([a,a+h]\subset V\), et l’hypothèse sur \(D^2f\) assure la positivité du terme de droite dans la formule de Taylor. Soit \[f(b)\geq f(a),\quad \forall\,b\in B(a,\delta),\] le point \(a\) est bien un minimum local de \(f\).

2. Il est clair que \(g(x)\in l^2(\mathbb N)\) pour tout \(x\in l^2(\mathbb N)\). En outre pour \(x,h\in l^2(\mathbb N)\) \[g(x+h)-g(x)= (2x_nh_n)_n+(h_n^2)_n:= L(h)+\dfrac{1}{2}Q(h,h).\] L’inégalité immédiate \(\vert x_n\vert\leq \Vert x\Vert_2,\ n\in\mathbb N\) implique que \[\Vert L(h)\Vert_2\leq \Vert x\Vert_2\Vert h\Vert_2,\quad \Vert Q(h,h)\Vert_2\leq \Vert h\Vert_2^2,\] ces inégalités assurent que \(L\) (resp. \(Q\)) est une application linéaire (resp. bilinéaire) continue de \(l^2(\mathbb N)\) (resp. \(l^2(\mathbb N)\times l^2(\mathbb N)\)) dans \(l^2(\mathbb N)\) : \(g\) est donc \(\mathscr C^\infty\) sur \(l^2(\mathbb N)\) et \[Dg(x)(h)=L(h),\quad D^2g(x)(h,h)=Q(h,h)\quad D^kg(x)(h^k)\equiv 0, \forall k\geq 3.\]

3. et

4. Il faut commencer par noter que la série définissant \(f\) est certainement convergente pour tout \(x\in l^2(\mathbb N)\). Alors \[f(x)=\sum_{n\geq 1}x_n^2\left( \dfrac{1}{n}-x_n\right) =\langle g(x),\omega-x\rangle,\quad\text{ où}\quad \omega=(n^{-1})_n\in l^2(\mathbb N).\] Le produit scalaire dans \(l^2(\mathbb N)\) est une application bilinaire continue (Cauchy-Schwarz) donc \(\mathscr C^\infty\) ; \(g\) étant aussi \(\mathscr C^\infty\) sur \(l^2(\mathbb N)\), \(f\) le sera par composition.

5. Par composition \[Df(x)(h)=\langle dg(x)(h),x-\omega\rangle-\langle g(x), h\rangle =\sum_{n\geq 1}\left(\dfrac{2x_n}{n}- 3x_n^2\right) h_n,\quad x,h\in l^2(\mathbb N).\] En particulier \[Df(0_{l^2(\mathbb N)})= 0,\quad \forall\, h\in l^2(\mathbb N),\] et l’origine \(0_{l^2(\mathbb N)}\) de \(l^2(\mathbb N)\) est bien un point critique de \(f\).

6. Pour calculer \(D^2f(x)(h,h)\) \[\begin{aligned} f(x+h)-f(x)&=\sum_{n\geq 1}\left( \dfrac{(x_n+h_n)^2}{n}-(x_n+h_n)^3\right)- \sum_{n\geq 1}\left( \dfrac{x_n^2}{n}-x_n^3\right)\\ &=\sum_{n\geq 1}\left(\dfrac{2x_n}{n}- 3x_n^2\right) h_n+\sum_{n\geq 1}\left( \dfrac{1}{n}-3x_n\right) h_n^2+\sum_{n\geq 1}h_n^3\\ &= Df(x)(h)+\sum_{n\geq 1}\left( \dfrac{1}{n}-3x_n\right) h_n^2 +o(\Vert h\Vert_{l^2(\mathbb N)}^2) \end{aligned}\] par unicité, la partie quadratique est \(D^2f(x)(h,h)\), soit \[D^2f(x)(h,h)=\sum_{n\geq 1}\left( \dfrac{1}{n}-3x_n\right) h_n^2,\quad\forall\,x,h\in l^2(\mathbb N),\] en particulier \[D^2f(0_{l^2(\mathbb N)})(h,h)=\sum_{n\geq 1}\dfrac{h_n^2}{n}>0,\quad \forall\,h\in l^2(\mathbb N)\setminus\{0_{l^2(\mathbb N)}\}.\]

7. On a \[f(x_\varepsilon)=\dfrac{x_{n_0}^2}{n_0}-x_{n_0}^3=\left( \dfrac{\varepsilon}{2}\right)^2(n_0^{-1}-\dfrac{\varepsilon}{2})<0\] vu le choix de \(n_0\). Et comme \[\Vert x_\varepsilon\Vert=\vert x_{n_0}\vert=\dfrac{\varepsilon}{2}\] on a \[\forall\,\varepsilon>0,\quad \exists x_\varepsilon\in l^2(\mathbb N)\ \text{tel que}\quad \Vert x_\varepsilon\Vert_2<\varepsilon\quad\text{et}\quad f(x_\varepsilon)<0=f(0),\] l’origine n’est donc pas un minimum local.

   Remarques : -Pour calculer la différentielle de \(f\) il est bien entendu plus raisonnable d’utiliser les théorèmes de composition : \[f(x)=\langle g(x), h(x)\rangle = b \circ \psi (x)\quad\text{où}\quad b(x,y)=\langle x,y\rangle,\ \psi(x)=(g(x),l(x)),\] de sorte que par bilinéarité de \(b\) \[Df(x)(h)=Db(g(x),l(x))(Dg(x)(h),Dl(x)(h)) =b(Dg(x)(h),l(x))+b(g(x),Dl(x)(h))\]

   -En le point critique \(x=0_{l^2}\) les conditions nécessaires \[Df(0)=0\quad\text{et}\quad D^2f(0)(h,h)\geq 0,\quad\forall\,h\in l^2(\mathbb N)\] (et même ici \(D^2f(0)(h,h)> 0,\quad\forall\,h\neq 0\)) pour présenter un minimum local ne sont donc pas suffisantes au contraire de ce qui se passe en dimension finie. La première question donne une condition suffisante : il faut la positivité de \(D^2f\) localement au voisinage du point critique. Une condition portant uniquement sur le point critique est par exemple \[\exists\,\alpha>0\quad : \quad D^2f(0)(h,h)\geq \alpha\Vert h\Vert^2,\quad\forall h.\]