Lecture zen
*
Extrémas et convexité
([achu], sujet 8.)
(préliminaire) Soit \(f\ :\ U\to \mathbb R\) une fonction de classe \(\mathscr C^2\) sur un ouvert \(U\) d’un espace vectoriel normé \(E\). Soit \(a\in U\) tel que \(Df(a)=0\) et \(D^2f(a)(u,u)\geq 0\) pour tout \(x\) dans un vosinage \(V\) de \(a\) et pour tout \(u\in E\). Montrer que \(f\) présente un minimum local au point \(a\).
Dans l’espace de Hilbert \(l^2(\mathbb N)\) des suites de réels de carré intégrable on pose pour \(x=(x_n)_{n\geq 1}\in l^2(\mathbb N)\) : \[g(x)=(x_n^2)_{n\geq 1},\quad f(x)=\sum_{n\geq 1}\left( \dfrac{x_n^2}{n}-x_n^3\right) .\]
Montrer que \(g\in\mathscr C^\infty(l^2(\mathbb N),l^2(\mathbb N))\) et préciser \(dg(x)(h),\ \forall\, x,h\in l^2(\mathbb N)\)
Exprimer \(f(x)\) en fonction de \(g\) et du produit scalaire.
Montrer que \(f\in\mathscr C^\infty (l^2(\mathbb N),\mathbb R)\).
Préciser \(Df(x),\ \forall\,x\in l^2(\mathbb N)\) et vérifier que la suite nulle \(0_{l^2}\) est un point critique de \(f\).
Calculer \(D^2f(x),\ \forall\,x\in l^2(\mathbb N)\) et vérifier que \[\forall h\in l^2(\mathbb N)\setminus\{0_{l^2}\}\ :\ D^2f(0_{l^2})(h,h)>0.\]
Soit \(\varepsilon>0\) et \(x_\varepsilon=(x_n)_{n\geq 1}\) la suite définie par \(x_n=0\ \forall\, n\neq n_0:=E(2/\varepsilon)+1\) et \(x_{n_0}=\varepsilon/2\). Montrer que \(f(x_\varepsilon)<0\). Calculer \(\Vert x_\varepsilon\Vert_2\) et en déduire que l’origine \(0_{l^2}\) n’est pas un minimum local de \(f\). Commentaire ?
Barre utilisateur
[ID: 2953] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Calcul différentiel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Extrémas et convexité
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:38
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:38
Documents à télécharger
L'exercice