([achu], sujet 8.)

(préliminaire) Soit \(f\ :\ U\to \mathbb R\) une fonction de classe \(\mathscr C^2\) sur un ouvert \(U\) d’un espace vectoriel normé \(E\). Soit \(a\in U\) tel que \(Df(a)=0\) et \(D^2f(a)(u,u)\geq 0\) pour tout \(x\) dans un vosinage \(V\) de \(a\) et pour tout \(u\in E\). Montrer que \(f\) présente un minimum local au point \(a\).

Dans l’espace de Hilbert \(l^2(\mathbb N)\) des suites de réels de carré intégrable on pose pour \(x=(x_n)_{n\geq 1}\in l^2(\mathbb N)\) : \[g(x)=(x_n^2)_{n\geq 1},\quad f(x)=\sum_{n\geq 1}\left( \dfrac{x_n^2}{n}-x_n^3\right) .\]

Montrer que \(g\in\mathscr C^\infty(l^2(\mathbb N),l^2(\mathbb N))\) et préciser \(dg(x)(h),\ \forall\, x,h\in l^2(\mathbb N)\)

Exprimer \(f(x)\) en fonction de \(g\) et du produit scalaire.

Montrer que \(f\in\mathscr C^\infty (l^2(\mathbb N),\mathbb R)\).

Préciser \(Df(x),\ \forall\,x\in l^2(\mathbb N)\) et vérifier que la suite nulle \(0_{l^2}\) est un point critique de \(f\).

Calculer \(D^2f(x),\ \forall\,x\in l^2(\mathbb N)\) et vérifier que \[\forall h\in l^2(\mathbb N)\setminus\{0_{l^2}\}\ :\ D^2f(0_{l^2})(h,h)>0.\]

Soit \(\varepsilon>0\) et \(x_\varepsilon=(x_n)_{n\geq 1}\) la suite définie par \(x_n=0\ \forall\, n\neq n_0:=E(2/\varepsilon)+1\) et \(x_{n_0}=\varepsilon/2\). Montrer que \(f(x_\varepsilon)<0\). Calculer \(\Vert x_\varepsilon\Vert_2\) et en déduire que l’origine \(0_{l^2}\) n’est pas un minimum local de \(f\). Commentaire ?


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[ID: 2953] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Calcul différentiel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Extrémas et convexité
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:38
  1. Soit \(\delta>0\) tel que \(B(a,\delta)\subset V\). La formule de Taylor avec reste intégral ([rou], théorème 6.3 page 279) assure que pour tout \(h\in E\) vérifiant \([a,a+h]\subset U\) \[f(a+h)-f(a)-Df(a)(h)=f(a+h)-f(a)=\int_0^1\dfrac{(1-t)^1}{1!}D^2f(a+th)(h,h)dt\] Alors \(\Vert h\Vert<\delta\) implique \([a,a+h]\subset V\), et l’hypothèse sur \(D^2f\) assure la positivité du terme de droite dans la formule de Taylor. Soit \[f(b)\geq f(a),\quad \forall\,b\in B(a,\delta),\] le point \(a\) est bien un minimum local de \(f\).

  2. Il est clair que \(g(x)\in l^2(\mathbb N)\) pour tout \(x\in l^2(\mathbb N)\). En outre pour \(x,h\in l^2(\mathbb N)\) \[g(x+h)-g(x)= (2x_nh_n)_n+(h_n^2)_n:= L(h)+\dfrac{1}{2}Q(h,h).\] L’inégalité immédiate \(\vert x_n\vert\leq \Vert x\Vert_2,\ n\in\mathbb N\) implique que \[\Vert L(h)\Vert_2\leq \Vert x\Vert_2\Vert h\Vert_2,\quad \Vert Q(h,h)\Vert_2\leq \Vert h\Vert_2^2,\] ces inégalités assurent que \(L\) (resp. \(Q\)) est une application linéaire (resp. bilinéaire) continue de \(l^2(\mathbb N)\) (resp. \(l^2(\mathbb N)\times l^2(\mathbb N)\)) dans \(l^2(\mathbb N)\) : \(g\) est donc \(\mathscr C^\infty\) sur \(l^2(\mathbb N)\) et \[Dg(x)(h)=L(h),\quad D^2g(x)(h,h)=Q(h,h)\quad D^kg(x)(h^k)\equiv 0, \forall k\geq 3.\]

  3. et

  4. Il faut commencer par noter que la série définissant \(f\) est certainement convergente pour tout \(x\in l^2(\mathbb N)\). Alors \[f(x)=\sum_{n\geq 1}x_n^2\left( \dfrac{1}{n}-x_n\right) =\langle g(x),\omega-x\rangle,\quad\text{ où}\quad \omega=(n^{-1})_n\in l^2(\mathbb N).\] Le produit scalaire dans \(l^2(\mathbb N)\) est une application bilinaire continue (Cauchy-Schwarz) donc \(\mathscr C^\infty\) ; \(g\) étant aussi \(\mathscr C^\infty\) sur \(l^2(\mathbb N)\), \(f\) le sera par composition.

  5. Par composition \[Df(x)(h)=\langle dg(x)(h),x-\omega\rangle-\langle g(x), h\rangle =\sum_{n\geq 1}\left(\dfrac{2x_n}{n}- 3x_n^2\right) h_n,\quad x,h\in l^2(\mathbb N).\] En particulier \[Df(0_{l^2(\mathbb N)})= 0,\quad \forall\, h\in l^2(\mathbb N),\] et l’origine \(0_{l^2(\mathbb N)}\) de \(l^2(\mathbb N)\) est bien un point critique de \(f\).

  6. Pour calculer \(D^2f(x)(h,h)\) \[\begin{aligned} f(x+h)-f(x)&=\sum_{n\geq 1}\left( \dfrac{(x_n+h_n)^2}{n}-(x_n+h_n)^3\right)- \sum_{n\geq 1}\left( \dfrac{x_n^2}{n}-x_n^3\right)\\ &=\sum_{n\geq 1}\left(\dfrac{2x_n}{n}- 3x_n^2\right) h_n+\sum_{n\geq 1}\left( \dfrac{1}{n}-3x_n\right) h_n^2+\sum_{n\geq 1}h_n^3\\ &= Df(x)(h)+\sum_{n\geq 1}\left( \dfrac{1}{n}-3x_n\right) h_n^2 +o(\Vert h\Vert_{l^2(\mathbb N)}^2) \end{aligned}\] par unicité, la partie quadratique est \(D^2f(x)(h,h)\), soit \[D^2f(x)(h,h)=\sum_{n\geq 1}\left( \dfrac{1}{n}-3x_n\right) h_n^2,\quad\forall\,x,h\in l^2(\mathbb N),\] en particulier \[D^2f(0_{l^2(\mathbb N)})(h,h)=\sum_{n\geq 1}\dfrac{h_n^2}{n}>0,\quad \forall\,h\in l^2(\mathbb N)\setminus\{0_{l^2(\mathbb N)}\}.\]

  7. On a \[f(x_\varepsilon)=\dfrac{x_{n_0}^2}{n_0}-x_{n_0}^3=\left( \dfrac{\varepsilon}{2}\right)^2(n_0^{-1}-\dfrac{\varepsilon}{2})<0\] vu le choix de \(n_0\). Et comme \[\Vert x_\varepsilon\Vert=\vert x_{n_0}\vert=\dfrac{\varepsilon}{2}\] on a \[\forall\,\varepsilon>0,\quad \exists x_\varepsilon\in l^2(\mathbb N)\ \text{tel que}\quad \Vert x_\varepsilon\Vert_2<\varepsilon\quad\text{et}\quad f(x_\varepsilon)<0=f(0),\] l’origine n’est donc pas un minimum local.

    Remarques : -Pour calculer la différentielle de \(f\) il est bien entendu plus raisonnable d’utiliser les théorèmes de composition : \[f(x)=\langle g(x), h(x)\rangle = b \circ \psi (x)\quad\text{où}\quad b(x,y)=\langle x,y\rangle,\ \psi(x)=(g(x),l(x)),\] de sorte que par bilinéarité de \(b\) \[Df(x)(h)=Db(g(x),l(x))(Dg(x)(h),Dl(x)(h)) =b(Dg(x)(h),l(x))+b(g(x),Dl(x)(h))\]

    -En le point critique \(x=0_{l^2}\) les conditions nécessaires \[Df(0)=0\quad\text{et}\quad D^2f(0)(h,h)\geq 0,\quad\forall\,h\in l^2(\mathbb N)\] (et même ici \(D^2f(0)(h,h)> 0,\quad\forall\,h\neq 0\)) pour présenter un minimum local ne sont donc pas suffisantes au contraire de ce qui se passe en dimension finie. La première question donne une condition suffisante : il faut la positivité de \(D^2f\) localement au voisinage du point critique. Une condition portant uniquement sur le point critique est par exemple \[\exists\,\alpha>0\quad : \quad D^2f(0)(h,h)\geq \alpha\Vert h\Vert^2,\quad\forall h.\]


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