Barre utilisateur

[ID: 2951] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Calcul différentiel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Matrices et calcul différentiel
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:38

Toutes ces applications sont bien sûr différentiables. On a pour \(A\) et \(H\) dans \(M_d(\mathbb C)\)

\[\begin{aligned}\varphi(A+H)-\varphi(A)&=AH+HA+H^2 &=&\ L(H)+o(\Vert H\Vert) \\ \psi(A+H)-\psi(A)&=\, ^t\!\!A H+ ^t\!\!HA+ \, ^t\!\!H H \ &=& \ L'(H)+o(\Vert H\Vert) \end{aligned}\]

vu que \(L, L'\in\mathscr L(M_d(\mathbb C))\) par définition de l’application différentielle \[L=d\varphi(A)\quad \&\quad d\psi(A)=L'.\]

Remarque : on peut aussi retrouver la différentielle de \(\psi\) en considérant les applications

\[\begin{aligned} &B \,:&\ (X,Y)\in M_d(\mathbb C)^2 &\mapsto&\ B(X,Y)&=&\,^t\!\!X Y\in M_d(\mathbb C)\\ &\omega \,:&\ X\in M_d(\mathbb C)&\mapsto& \ \omega(X)&=&\ (X,X)\in M_d(\mathbb C)^2 \end{aligned}\]

en effet, \(B\) étant bilinéaire on a :

\[dB(X,Y)(H,K)=B(X,K)+B(H,Y)\]

de même, \(\omega\) étant linéaire \(d\omega(X) =\omega\). Enfin \(\psi =B\circ\omega\) et finalement par composition

\[d\psi(A)(H)=dB(\omega(A))\circ d\omega(A)(H)=dB(A,A)(\omega(H))=dB(A,A)(H,H)=\,^t\!\!A H+ ^t\!\!HA\]