Lecture zen
*
Déterminant et calcul différentiel
On note \[\ \varphi\,:\ A\in M_d(\mathbb C)\mapsto \varphi(A):=\det(A)\in M_d(\mathbb C)\] l’application déterminant.
Montrer que \(\varphi\in\mathscr C^\infty (M_d(\mathbb C))\).
À l’aide de la comatrice, calculer pour \(\displaystyle(i,j)\in\{1,2,\dots,d\}^2\text{ et }A\in GL_d(\mathbb C)\) la dérivée partielle \({{\partial\varphi(A)}\over{\partial x_{i,j}}}\) pour en déduire \(d\varphi(A)\).
Une autre méthode pour calculer \(d\varphi(A)\).
-Calculer \(d\varphi(I_d)\).
-En déduire \(d\varphi(A)\) pour \(A\in GL_d(\mathbb C).\)
-Conclure.
Barre utilisateur
[ID: 2949] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Calcul différentiel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Déterminant et calcul différentiel
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:38
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:38
\(M_d(\mathbb C)\) est muni de sa structure d’espace vectoriel normé canonique (dimension finie), l’application déterminant, polynomiale en les \(n^2\) coefficients de \(A\) est \(\mathscr C^\infty\).
Pour \(A=((a_{ij}))_{ij}\in M_d(\mathbb C)\), \(m_{ij}\) désigne le \(ij\)-ième cofacteur. En développant par rapport à la \(i\)-ème ligne
\[\det(A)=\sum_{l=1}^da_{il}\cdot m_{il}\]
pour tout \(1\leq l\leq d\), \(m_{il}\) ne dépend pas de \(a_{ij}\) si bien que
\[{{\partial\varphi}\over{\partial a_{ij}}}(A)=m_{ij}.\] Et finalement, (\(\varphi\) étant différentiable) \[d\varphi(A)(H)=\sum_{1\leq i,j\leq n}{{\partial\varphi}\over{\partial a_{ij}}}(A)h_{ij}=\sum_{ij}m_{ij}h_{ij} =\text{tr}(^t\!\text{com}(A)H).\]
-Pour \(H\in M_d(\mathbb R)\), vu un résultat classique du cours on peut écrire
\[d(\varphi)(I_d)(H)=\lim_{t\to 0}{{\varphi(A+tH)-\varphi(A)}\over t},\qquad\qquad(\text{$\star$})\] et \(\lambda_1,\lambda_2\dots,\lambda_d\) désignant les valeurs propres de \(H\)
\[\begin{aligned} \varphi(I_d+tH) &=\det(I_d+tH) \\ &=\prod_{i=1}^d (1+t\lambda_i)\\ &=1+t\cdot\text{tr}(H)+o(t)\\ &=\varphi(I_d)+t\cdot\text{tr}(H)+o(t) \end{aligned}\] soit, vu \((\text{$\star$})\) : \(d\varphi(I_d)(H)=\text{tr}(H).\) -Lorsque \(A\in GL_d(\mathbb C)\) on se ramène facilement à la situation précédente
\[\begin{aligned} \det(A+H)&=\det(A)\det(I_d+A^{-1}H)\\ &=\det(A)\left(1+\text{tr}(A^{-1}H)+o(\Vert H\Vert\right)\\ &=\det(A)+\text{tr}(\det(A)A^{-1}H)+o(\Vert H\Vert)\\ &=\det(A)+\text{tr}(^t\!\text{com}(A)H)+o(\Vert H\Vert)\qquad\text{car }A\,^t\!\text{com}(A)=\det(A)I_d \end{aligned}\]
i.e. \[\quad d\varphi(A)(H)=\text{tr}(^t\!\text{com}(A)H),\ \forall\,A\in GL_d(\mathbb C).{(\text{$\star$})}\]
-\(GL_d(\mathbb C)\) est un ouvert dense de \(M_d(\mathbb C)\) (voir [rom1] [rom2] ou bien l’exercice ???) on peut donc, par continuité \(A\mapsto d\varphi(A)\) prolonger à tout \(M_d(\mathbb C)\) la formule (\(\star\)) ci-dessus i.e. \[d\varphi(A)(H)=\text{tr}(^t\!\text{com}(A)H),\ \forall\,A,H\in M_d(\mathbb C).\]
Documents à télécharger
L'exercice