Il s’agit de quelques exemples et contre-exemples canoniques autour du théorème d’inversion globale que l’on trouve dans l’excellent ouvrage de F.Rouvière, [rou].

  1. Soit \(\Omega:=\mathbb R^2\setminus\{0\}\) et \[f(x,y)=(x^2-y^2, 2xy).\] Montrer que \(f\) est un difféomorphisme local au voisinage de tout point de \(\Omega\) mais que ce n’est pas un difféomorphisme global. Expliciter des ouverts \(U,V\) aussi grands que possible et tels que \(f\ :\ U\to V\) soit un difféomorphisme global.

  2. Soit \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) définie par \[f(x)=\begin{cases} x+\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)&\text{si}\ x\in\mathbb R\setminus\{0\}\\ 0&\text{sinon. } \end{cases}\] Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\), que \(f'(0)\ne 0\) mais que \(f\) n’est inversible sur aucun voisinage de l’origine. Commentaire ?


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[ID: 2947] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Calcul différentiel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Inversion locale et globale
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:38
  1. La matrice jacobienne de \(f\) \[J_f(a,b)=\begin{pmatrix} 2x&-2y\\2y&2x \end{pmatrix}\] de déterminant \(4(x^2+y^2)\ne 0\) sur \(\Omega\) (ou bien, avec l’identification \(\mathbb R^2 \simeq\mathbb C\), \(f\) est l’application \(z\mapsto z^2\) holomorphe sur \(\mathbb C^\star\) et \(J_f(x,y)\) est l’écriture matricielle de la multiplication \(f'(z)=2z\)) dans tous les cas, le théorème d’inversion locale s’applique à \(f\) (qui est de classe \(\mathscr C^1\) sur \(\Omega\)) : pour tout \(a\ne 0\) il existe deux ouvert \(U\subset\Omega,\ V\subset\mathbb R^2\) tels que \(f\) soit un \(\mathscr C^1\) difféomorphisme de \(U\) sur \(V\). Vu que \(f(z)=z^2\) il existe donc sur \(V\) une determination de classe \(\mathscr C^1\) (elle est même holomorphe, voir un cours sur le logarithme complexe) de la racine carrée.

    L’inversion locale n’est pas globale (i.e. on ne peut avoir \(U=\mathbb C\setminus\{0\}\) ) car \(f\) n’est pas injective (\(f(z)=f(-z)\)), l’ouvert maximal ne pourra contenir deux points opposés dans le plan complexe ; après un petit calcul on vérifie que le demi-plan \(\{z\in\mathbb C\ : \ \text{re}(z)>0\}\) convient ainsi que tout demi-plan deduit de celui-ci par une rotation autour de l’origine, l’ouvert d’arrivée étant alors \(\mathbb C\setminus\mathbb R_-\) ou dans les autres cas \(\mathbb C\) privé d’une demi-droite issue de l’origine (encore une fois le lecteur connaissant le logarithme complexe ne sera pas surpris par ces solutions).

  2. \(f\) est de classe \(\mathscr C^1\) sur \(\mathbb R\setminus\{0\}\) et puisqu’au voisinage de l’origine \(f(x)=x+o(x^2)\), elle est aussi dérivable à l’origine avec \(f'(0)=1\). Toutefois \(f\) n’est pas injective au voisinage de l’origine (c’est du aux oscillations rapides générées par le sinus) ; précisément pour tout entier pair \(k\geq 2\) \[f\left( \frac{1}{k+\frac{1}{2}}\right)-f\left( \frac{1}{k}\right) =\dfrac{2k-1}{k(2k+1)^2}>0\] et \[f\left( \frac{1}{k+1}\right)=\frac{1}{k+1}<\frac{1}{k}=f\left( \frac{1}{k}\right) <f\left( \frac{1}{k+\frac{1}{2}}\right)\] si bien que toute valeur comprise entre \(f\left( \frac{1}{k}\right)\) et \(f\left( \frac{1}{k+\frac{1}{2}}\right)\) sera atteinte deux fois sur l’intervalle \(] \frac{1}{k+1},\frac{1}{k}[\) d’après le théorème des valeurs intermédiaires. \(f\) n’est donc injective sur aucun voisinage de l’origine.

    Remarque : Le théorème d’inversion locale ne s’applique pas ici car \(f\) est de classe \(\mathscr C^1\) sur \(\mathbb R^\star\), dérivable sur \(\mathbb R\) mais pas de classe \(\mathscr C^1\) à l’origine, et donc à fortiori sur aucun voisinage de l’origine.


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