Barre utilisateur

[ID: 2945] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Calcul différentiel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Théorème de d’Alembert-Gauss, calcul différentiel, optimisation
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:38

1. et

2. sont classiques.

3. Soit \(P(z)=a_dz^d+\dots+a_1z+a_0\) un polynôme de degré \(d\geq 1\). On pose \(f(z)=\vert P(z)\vert^2\) (comme le dit JBHU, le carré est important pour lisser les choses... le module au carré ou norme euclidienne, à le bon gout d’être différentiable). On a \[\begin{aligned}f(z)=\Big\vert\sum_{k=0}^d a_kz^k\Big\vert&\geq\left(\vert a_d\vert.\vert z \vert^d-\sum_{k=0}^{d-1}\vert a_k\vert .\vert z\vert^k\right)^2\\ &\geq \vert a_d\vert.\vert z\vert^{2d}\left( 1+\large{0}\left({1\over \vert z\vert}\right)\,\right)\rightarrow +\infty \ \text{quand }\vert z\vert\to+\infty. \end{aligned}\] Vu (1), il existe \(z^\star\in\mathbb C\) minimisant \(f\) sur \(\mathbb C\). Il s’agit maintenant de montrer que \(z^\star\) fait notre affaire, à savoir \(P(z^\star)=0\). Pour cela, on commence par se ramener à l’origine en considérant \[Q(z):=P(z+z^\star)=b_0+b_1z+\dots+b_dz^d= b_0+\dots+b_st^s+\dots+b_dt^d\] (\(s\) est le premier entier non nul pour lequel \(b_1=\dots=b_{s-1}=0,\ b_s\ne 0\)) et l’objectif est de démontrer que \(0\) est racine de \(Q\), c’est à dire \(b_0=0\). Pour cela, si \(\theta\in[0,2\pi[\), considérons \[\varphi_\theta\ :\ t\in\mathbb R\ \mapsto\ \varphi_\theta(t):=\Big\vert Q(te^{i\theta})\Big\vert^2,\] ce n’est rien d’autre que la restriction de \(f\) à la droite passant par l’origine des complexes d’argument \(\theta\). Bien entendu, \(\varphi_\theta\) présente en \(z=0\) un minimum et ce, quel que soit \(\theta\in[0,2\pi[\) (en particulier \(\varphi'_\theta(0)=b_1e^{i\theta}= 0\Longrightarrow b_1=0\)). En outre \[\begin{aligned} \varphi_\theta(t) &=\left(b_0+b_st^se^{is\theta}+\dots+b_dt^de^{id\theta}\right) \left(\overline{b_0}+\overline{b_s}t^se^{-is\theta}+\dots+\overline{b_d}t^de^{-id\theta}\right)\\ &=\vert b_0\vert^2+\left(b_s\overline{b_0} e^{is\theta}+b_0\overline{b_s} e^{-is\theta}\right)t^s+\text{ des termes en }t^k\text{ avec }k>2s\\ &=\vert b_0\vert^2+2t^s\text{re}\left( \overline{b_0}b_se^{is\theta}\right)+{\text{\small 0}}(t^s). \end{aligned}\] Par suite \[\varphi^{(k)}_\theta(0)=0,\ \text{si}\ k=1\dots s-1\quad\text{et}\quad\varphi^{(s)}_\theta(0)=2s!\text{re}\left( \overline{b_0}b_se^{is\theta}\right)\] et vu (2), (bien remarquer que \(s\) est indépendant de \(\theta\) et \(\geq 2\)) : \[\forall\,\theta\in[0,2\pi[\quad : \quad\varphi^{(s)}_\theta(0)\geq 0.{(\text{$\star$})}\] Supposons \(b_0\ne 0\) (\(b_s\) est différent de zéro par construction), avec \(\overline{b_0}b_s= \vert\overline{b_0}b_s\vert e^{i\rho}\) nous avons \[\begin{aligned} 2\text{re}\left( \overline{b_0}b_se^{is\theta}\right) &= 2\text{re}(\vert\overline{b_0}b_s\vert e^{i\rho}e^{is\theta}) \\ &=2\big\vert \overline{b_0}b_s\big\vert\cos(s\theta+\rho) \end{aligned}\] puisque \(\big\vert \overline{b_0}b_s\big\vert> 0\) le dernier terme va décrire l’intervalle \(]-\big\vert \overline{b_0}b_s\big\vert,\big\vert \overline{b_0}b_s\big\vert[\) lorsque \(\theta\) varie de \(0\) à \(2\pi\) si bien qu’il ne peut éviter de prendre des valeurs \(<0\) contredisant (\(\star\)) : la seule alternative est donc que \(b_0=0\) et le théorème est démontré.

   Remarque : Cette démonstration nous a été communiquée par notre collègue de l’université Paul Sabatier de Toulouse, J.B. HIRIART-URRUTY, qui lui-même la tient du livre de Alexeev-Tikhomirov-Fomine , Commande optimale, Editions Mir (1982).