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Théorème de d’Alembert-Gauss, topologie, calcul différentiel
Soit \(f\ :\ \mathbb R^n\to\mathbb R^n\) une application de classe \(\mathscr C^1\) vérifiant :
\(\vartriangleright\quad\) \(\{\,a\in\mathbb R^n\ :\ df(a)\not\in GL_n(\mathbb R)\,\}\) est fini.
\(\vartriangleright\quad\) L’image réciproque par \(f\) de tout compact \(K\) de \(\mathbb R^n\) est compacte.
Alors \(f\) est surjective si \(n\geq 2\).
En déduire le théorème de d’Alembert-Gauss.
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[ID: 2943] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Calcul différentiel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Théorème de d’Alembert-Gauss, topologie, calcul différentiel
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:38
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:38
- 1 Monier ??
- 2 c’est ici qu’on utilise le fait que \(n\geq 2\) !
- 3 exercice 1-24, Analyse MP (exercices) J.M.Monier - Dunod - 1997, Monier le fait pour une application de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) mais le résultat et la preuve subsistent pour une application de \(\mathbb R^n\) dans \(\mathbb R\).↩︎
voir la formule \((\bigstar)\) page trois
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