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[ID: 2941] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Calcul différentiel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Extrémas en dimension plus grande que \(2\) : attention aux idées reçues !
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:38

1. La réponse est oui si \(d=1\) et de manière à priori plus surprenante non si \(d\geq 2\).

   -Si \(d=1\). Soit donc \(f\in\mathscr C^1(\mathbb R,\mathbb R)\) présentant (sans perdre de généralité...) à l’origine un minimum local. Par exemple \(f(0)=0,\ f(x)>0,\ \forall\,0<\vert x\vert<\delta\). \(x=0\) n’étant pas un minimum global, il existe \(a\in\mathbb R\), disons \(a>0\), tel que \(f(a)<0\).Soit \(f(a)f(\delta/2)<0\), par le théorème de valeurs intermédiaires il existe \(b>0\) tel que \(f(b)=0\), soit \(f(0)=f(b)=0\) ; le théorème de Rolle assure alors de l’existence d’un réel \(c\in]0,b[\) tel que \(f'(c)=0\) et nous avons bien construit un second point critique pour \(f\).

   -Pour un contre-exemple en deux variables, considérons la fonction \(\mathscr C^\infty\) \[f(x,y)=\dfrac{-1}{1+x^2}+(2y^2-y^4)\left( 1+\dfrac{1}{1+x^2}\right),\quad(x,y)\in\mathbb R^2.\] Pour localiser les points critiques et préciser leur nature sans trop de calculs considérons les sections du graphe de \(f\) à \(x=c=\) constante : l’application \(f_c(y)=f(c,y)=-a+(2y^2-y^4)\left( e^c+a\right)\) présente (voir figure 1) trois points critiques \(y=0\), \(y=1\) et \(y=-1\). Ainsi, les éventuels points critiques de \(f\) se trouveront sur les sections \(y=0\), \(y=1\) et \(y=-1\) (vu qu’ailleurs, \(\partial_y f\neq 0\)). Sur \(y=\pm 1\), \(f(x,\pm 1)=e^x\) soit \(\partial_x f=e^x>0\). Sur \(y=0\), \(f(x,0)=\frac{-1}{1+x^2}\) soit \(\partial_x f(x,0)=\frac{2x}{(1+x^2)^2}\) qui s’annule si, et seulement si \(x=0\). \(f\) admet donc un unique point critique : \((0,0)\).

   

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   \(f(0,0)=-1>-17=f(0,2)\) : \((O,O)\) n’est donc pas un minimum global. Il nous reste à vérifier que \((0,0)\) est néanmoins un minimum local, pour cela il suffit de remarquer que \[\begin{aligned}f(x,y)&=-1+\dfrac{x^2}{1+x^2}+y^2(2-y^2)\left( 1+\dfrac{1}{1+x^2}\right)\\ &=f(0,0)+\left[\dfrac{x^2}{1+x^2}+y^2(2-y^2)\left( 1+\dfrac{1}{1+x^2}\right)\right]\\ &>f(0,0)\quad\text{pour}\ (x,y)\in D((0,0),\sqrt{2})\setminus\{(0,0)\}. \end{aligned}\] D’où le résultat.

2. Il suffit de considérer dans \(\mathbb R[X,Y]\) le polynôme \[p(x,y)=x^2+(xy-1)^2\] qui est clairement positif sur \(\mathbb R^2\) ; toutefois l’axe \(\left\lbrace\,(x,y)\in\mathbb R^2\ :\ x=0\, \right\rbrace\) et l’hyperbole \(\left\lbrace\,(x,y)\in\mathbb R^2\ :\ xy=1\, \right\rbrace\) n’ayant aucun points communs notre polynôme ne prends jamais la valeur \(0\). Mais \[\forall\,\varepsilon>0\quad:\quad p(\varepsilon,\varepsilon^{-1})=\varepsilon^2\] si bien que \[\inf_{(x,y)\in\mathbb R^2}p(x,y)=0\] et ne sera jamais atteind.

   Remarque : -Moralité : comme toujours se méfier du passage en plusieurs variables, nombreuses propriétés, vraies en une variable ne passent plus dès deux variables !

   -Le second exemple est un petit garde-fou contre la tentation d’étendre à plusieurs variables la propriété classique en une variable (idem dans \(\mathbb C[z]\)) \[\forall\,p\in\mathbb R[x],\ \text{deg}(p)\geq 1\quad: \quad\lim_{\vert x\vert\to+\infty}\vert p(x)\vert=+\infty\] alors que le polynôme à deux variables considéré plus haut est constant sur l’axe des ordonnées.