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[ID: 2939] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Calcul différentiel ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Calcul différentiel, espaces vectoriels normés, polynômes
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:38

 Rappel : Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels normés, une application \(f : E\to F\) est différentiable au point \(a\in E\) s’il existe une application linéaire continue \(L=df(a) : E\to F\) verifiant \[\lim_{h\to 0_E}\dfrac{\Vert f(a+h)-f(a)-L(h)\Vert_F}{\Vert h\Vert_E}=0\]

1. Pour \(P\in\mathbb R[X]\), posons \(u_k(P)=\dfrac{1}{1+k^2P(k^{-1})^2}\).

   -Si \(P(0)\neq 0\), alors \[u_k(P)=\dfrac{1}{1+k^2(P(0)+0(k^{-1}))^2}=\dfrac{1}{1+P^2(0)k^2(1+0(k^{-1})}\underset{k\to\infty}{\sim} \dfrac{1}{P(0)^2k^2}\quad (k\to+\infty)\] Avec le critère de comparaison des séries à termes positifs, \(f(P)\) est bien définie.

   -Supposons maintenant que \(P(0)=0\). \(P\equiv 0\) la série \(\sum_k u _k(P)\) diverge grossièrement ; sinon soit \(d:=\inf\{\nu\ :\ P^{(\nu)}(0)\ne 0\}\) la valuation de \(P\). La formule de Taylor assure que \[P(k^{-1})=\dfrac{P^{(d)}(0)}{d!}\dfrac{1}{k^d}+o(k^{-d})\quad (k\to\infty)\] ainsi, lorsque \(k\) tends vers \(+\infty\) \[u_k(P)=\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{P^{(d)}(0)}{d!}\right)^2\dfrac{1}{k^{2(d-1)}} +o\left(\dfrac{1}{k^{2(d-1)}}\right)}\longrightarrow\begin{cases}\left( 1+P'(0)^2\right)^{-1},&\text{si } d=1,\\ 1,&\text{si } d>1.\end{cases}\] Et la série \(\sum_k u_k(P)\) diverge grossièrement.

   -En résumé, le domaine de définition de \(f\) est \[\mathscr D_f=\{ P\in\mathbb R[X]\ :\ P(O)\neq 0\}.\] C’est l’image réciproque de l’ouvert \(\mathbb R^\star\) par l’application linéaire \(\varphi\ :\ \mathbb R[X]\ni P\mapsto \varphi(P)=P(0)\). Puisque \[\vert\varphi(P)\vert=\vert P(0)\vert\leq\Vert P\Vert:=\sup_{[0,1]}\vert P(t)\vert,\] \(\varphi\) est continue et \(\mathscr D_f=\varphi^{-1}(\mathbb R^\star)\) est ouvert dans \(\mathbb R[X]\).

2. Soit \(P\in\mathscr D_f\) et étudions la différentiabilité de \(f\) au point \(P\). Soit \(H\in\mathscr D_f\) de norme suffisament petite pour que \(P+H\in\mathscr D_f\). Il s’agit de trouver une application \(L\in \mathscr L_c(\mathscr D_f,\mathbb R)\) telle que \[f(P+H)-f(P)=L(H)+o(\Vert H\Vert_\infty),\] deviner \(L\) n’est pas immédiat, un petit interlude divinatoire est nécéssaire :

   -on est donc conduit à étudier la quantité \[\begin{aligned}u_k(P+H)-u_k(P)&=\dfrac{1}{1+k^2(P+H)^2(k^{-1})}-\dfrac{1}{1+k^2P^2(k^{-1})}\\ &=-\dfrac{2k^2P(k^{-1})H(k^{-1})+k^2H^2(k^{-1})}{(1+k^2(P+H)^2(k^{-1}))(1+k^2P^2(k^{-1}))}\\ &=-\dfrac{2k^2P(k^{-1})H(k^{-1})+k^2H^2(k^{-1})}{(1+k^2P^2(k^{-1})^2)}\\ &\quad +\dfrac{2k^2P(k^{-1})H(k^{-1})}{(1+k^2P^2(k^{-1}))}-\dfrac{2k^2P(k^{-1})H(k^{-1})}{(1+k^2(P+H)^2(k^{-1}))(1+k^2P^2(k^{-1}))}\\ &=L_k(H)+R\quad \text{avec}\quad L_k(H)=-\dfrac{2k^2P(k^{-1})H(k^{-1})}{(1+k^2P^2(k^{-1}))^2}=-2k^2P(k^{-1})H(k^{-1})u_k^2(P) \end{aligned}\] notre choix pour \(L_k(H)\) purement subjectif peut être motivé par exemple parce qu’il faut d’une part chercher quelque chose de linéaire en \(H\) et, d’autre part si \(\Vert H\Vert\) tends vers zéro \[-\dfrac{2k^2P(k^{-1})H(k^{-1})}{(1+k^2(P+H)^2(k^{-1}))(1+k^2P^2(k^{-1}))} \underset{\Vert H\Vert\to 0}{\sim} -\dfrac{2k^2P(k^{-1})H(k^{-1})}{(1+k^2P^2(k^{-1})^2)}=L_k(H).\] On peut aussi motiver notre choix en utilisant sans aucune rigueur la formule classique mais toujours d’une importance stratégique : \[\left( f\text{ différentiable en } a\right) \Longrightarrow \left( df(a)h=\lim_{t\to 0}\dfrac{f(a+th)-f(a)}{t}\right) .\] En effet, pour le cas qui nous interesse \[\begin{aligned} \lim_{t\to 0}\dfrac{f(P+tH)-f(P)}{t}&=\lim_{t\to 0}\sum_{k\geq 1} \dfrac{u_k(P+tH)-u_k(P)}{t}\\ &=\sum_{k\geq 1}\lim_{t\to 0}\dfrac{u_k(P+tH)-u_k(P)}{t}\\ &=\sum_{k\geq 1} -2k^2P(k^{-1})H(k^{-1})u_k^2(P)=\sum_{k\geq 1}L_k(H)=L(H) \end{aligned}\] où bien entendu l’échange \(\lim\sum=\sum\lim\) n’a pas été justifié. Résumons nous : nous avons un candidat suspect pour \(df(P)(H)\) c’est \[L_P(H)=\sum_{k\geq 1} -2k^2P(k^{-1})H(k^{-1})u_k^2(P){(\bigstar)}\] pour montrer que c’est bien lui (i.e. \(L_P=df(P)\)), il va falloir successivement montrer que la série définissant \(L_P\) est bien convergente sur \(\mathscr D_f\), qu’alors \(L_P\) est une application (linéaire) continue de \(\mathscr D_f\) dans \(\mathbb R\) et qu’enfin \(f(P+H)-f(P)-L_P(H)=o(\Vert H\Vert_\infty)\) (ou justifier l’échange \(\lim\sum=\sum\lim\) dans ce qui précède...). Au travail.

   -Soit \(P\in\mathscr D_f\), nous avons comme dans la première partie \[k^2u_k^2(P)\sim \dfrac{1}{k^2P^4(0)}\] de sorte que la série \(\sum_{k\geq 1}k^2u_k^2(P)\) converge. Notons \(C=\sum_{k\geq 1}k^2u_k^2(P)\), pour tout \(H\in\mathscr D_f\) nous avons \[\vert 2k^2P(k^{-1})u_k^2(P)H(k^{-1})\vert\leq 2\Vert P\Vert_\infty\Vert H\Vert_\infty k^2u_k^2(P),\quad k\in\mathbb N^\star\] ce qui, par critère de comparaison des séries à termes positifs assure que la série définissant \(L_P\) est bien absolument convergente sur \(\mathscr D_f\). En outre il résulte aussi de cette inégalité : \[\forall\,H\in\mathscr D_f\quad : \quad \vert L_P(H)\vert\leq 2C\Vert P\Vert_\infty\Vert H\Vert_\infty\] qui assure la continuité de \(L_P\) sur \(\mathscr D_f\) (la linéarité est évidente).

   -Montrons maintenant que \(f(P+H)-f(P)-L_P(H)=o(\Vert H\Vert_\infty)\). C’est un calcul assez fastidieux. \[f(P+H)-f(P)-L_P(H)=\sum_{k\geq 1}u_k(P+H)-u_k(P)+2k^2P(k^{-1})u_k^2(P)H(k^{-1}).\] et pour \(k\in\mathbb N^\star\) \[u_k(P+H)-u_k(P)+2k^2P(k^{-1})u_k^2(P)H(k^{-1})= \left(-1+3k^2P^2(k^{-1})+2k^2P(k^{-1})H(k^{-1}) \right) k^2H(k^{-1})u_k^2(P)u_k(P+H),\] donc \[\vert u_k(P+H)-u_k(P)+2k^2P(k^{-1})u_k^2(P)H(k^{-1})\vert \leq k^2u_k^2(P)u_k(P+H)\left(1+k^2(3\Vert P\Vert_\infty^2+2\Vert P\Vert_\infty\Vert H\Vert_\infty) \right)\] et comme \(0<u_k(P+H)\leq 1\) \[\vert u_k(P+H)-u_k(P)+2k^2P(k^{-1})u_k^2(P)H(k^{-1})\vert \leq k^2u_k^2(P)\left(1+k^2u_k(P+H)(3\Vert P\Vert_\infty^2+2\Vert P\Vert_\infty\Vert H\Vert_\infty) \right).\] Mais \[\dfrac{1}{k^2u_k(P+H)}=\dfrac{1+k^2(P(k^{-1})+H(k^{-1}))^2}{k^2}\geq (P(k^{-1})+H(k^{-1}))^2\geq (\vert P(k^{-1})\vert-\vert H(k^{-1})\vert)^2 {\text{($\star$)}}\] et par continuité de \(P\) à l’origine, il existe \(N\in\mathbb N\) tel que \(k\geq N\) implique \(\vert P(k^{-1})\vert \geq \dfrac{\vert P(0)\vert}{2}\) et comme \(H\) peut être choisi de norme arbitrairement petite, imposont \(\Vert H\Vert_\infty\leq\dfrac{\vert P(0)}{4}\). Alors pour \(k\geq N+1\) \[\vert P(k^{-1})-H(k^{-1}) )\vert\geq \dfrac{\vert P(0)}{2}-\Vert H\Vert_\infty \geq\dfrac{\vert P(0)\vert}{4}\] soit, avec (\(\star\)) : \[k^2u_k(P+H)\leq \dfrac{16}{\vert P(0)\vert^2}\] par conséquent, (\(C=\sum_{k\geq 1}k^2u_k^2(P)\)) \[\begin{aligned} &\vert f(P+H)-f(P)-L_P(H)\vert \leq \sum_{k\geq 1}\vert u_k(P+H)-u_k(P)+2k^2P(k^{-1})H(k^{-1})u_k^2(P)\vert \\ &\leq \Vert H\Vert^2_\infty \left\lbrace C+(3\Vert P\Vert^2_\infty+2\Vert P\Vert_\infty\Vert H\Vert_\infty) \left( \sum_{k=1}^Nk^4u_k^2(P)u_k(P+H)+\sum_{k\geq N+1}k^4u_k^2(P)u_k(P+H)\right) \right\rbrace \\ &\leq \Vert H\Vert^2_\infty \left\lbrace C+(3\Vert P\Vert^2_\infty+2\Vert P\Vert_\infty\Vert H\Vert_\infty) \left(\sum_{k=1}^Nk^4u_k^2(P)u_k(P+H)+\dfrac{16}{\vert P(0)\vert^2}C \right) \right\rbrace . \end{aligned}\] Il résulte de cette dernière inégalité que \[f(P+H)-f(P)-L_P(H)=o(\Vert H\Vert_\infty)\] lorsque \(H\) tends vers \(0\) dans \((\mathbb R[X],\Vert.\Vert)\) : \(f\) est donc différentiable au point \(P\) et la différentielle de \(f\) au point \(P\) est la forme linéaire continue \(df(P)=L_P\) : \[H\mapsto -\sum_{k\geq 1}\dfrac{2k^2P(k^{-1})H(k^{-1})}{\left( 1+k^2P^2(k^{-1})\right)^2 }.\]

   Remarques : -Ouf ! et si quelqu’un a plus simple : qu’il se manifeste !

   -En dimension infinie, il ne faut sutout pas oublier l’hypothèse de continuité pour l’application linéaire dans la définition de la différentiabilité sans laquelle par exemple toute application linéaire discontinue (il en existe toujours en dimension infinie...c’est un autre exercice) serait automatiquement différentiable ! Certains auteurs imposent plutot à \(f\) d’être continue au point \(a\) dans la définition de la différentiabilité, l’application linéaire est alors automatiquement continue.