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[ID: 2935] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:31] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

\(\sum_{k=0}^n C_{2n+2}^{2k+1}=2^{2n+1}(2n+1)(2n+2)\) via les séries entières
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:31

\(f\) est bien entendu développable en série entière en \(x=0\) et on a pour \(x\in\mathbb R\) \[\begin{aligned} f(x)&=\sin^2(x)=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}\\ &=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\dfrac{(2x)^{2n}}{(2n)!}=-\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\dfrac{2^{2n}x^{2n}}{2(2n)!}\\ &=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \dfrac{2^{2n-1}x^{2n}}{(2n)!} \end{aligned}\] soit \[\sin^2(x)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \dfrac{2^{2n-1}}{(2n)!}x^{2n},\quad\forall\,x\in\mathbb R.{(1)}\] D’un autre coté, on peut écrire \[f(x)=\sin^2(x)=\left( \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)^2=\sum_{n=1}^\infty c_{n} x^{2n}\] où par produit de Cauchy \[c_n=\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!}\dfrac{(-1)^{n-k}}{(2n-2k+1)!} =\dfrac{(-1)^n}{(2n+2)!}\sum_{k=0}^n C_{2n+2}^{2k+1},\] donc \[\sin^2(x)=\sum_{n=1}^\infty \left( \dfrac{(-1)^n}{(2n+2)!}\sum_{k=0}^n C_{2n+2}^{2k+1}\right) x^{2n},\quad\forall\,x\in\mathbb R.{(2)}\] Par unicité des coefficients d’une série entière, (1) et (2) donnent \[\sum_{k=0}^n C_{2n+2}^{2k+1}=2^{2n+1}(2n+1)(2n+2),\quad n\in \mathbb N^\star,\] soit (\(\star\)), Q.E.D.

Remarque : Il n’est pas difficile d’établir directement (\(\star\)) par dénombrement car \(\sum_{k=0}^n C_{2n+2}^{2k+1}\) représente le nombre de parties de cardinal impair dans un ensemble de cardinal pair \(2n+2\).