Soit \(f\in\mathscr C^0([0,\pi])\) telle que \[\int_0^{2\pi}\,t^nf(t)dt=0,\quad\forall\,n\in\mathbb N.\] Montrer que \[\int_0^{2\pi}\,e^{int}f(t)dt=0,\quad\forall\,n\in\mathbb Z\] et en déduire que \(f\equiv 0\).


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[ID: 2933] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:31] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




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Preuve du théorème des moments de Hausdorff par les séries de Fourier
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:31

Notons \(\widetilde f\) la fonction \(2\pi\)-périodique paire continue sur \(\mathbb R\) qui coïncide avec \(f\) sur \(]0,2\pi]\) ; ses coefficients de fourier complexes sont donnés par \[c_n(\widetilde f)=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\,f(t)e^{int}dt,\quad \forall n\in\mathbb Z.\] Mais par normale convergence sur \([0,2\pi]\) de la série entière \(e^{int}=\sum_{k\geq 0}\frac{(int)^k}{k!}\) on peut écrire \[c_n(\widetilde f)=\dfrac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\,f(t)\left( \sum_{k\geq 0}\frac{(int)^k}{k!}\right)dt=\sum_{k\geq 0}\frac{(in)^k}{2\pi(2k)!}\int_0^{2\pi} t^{k}f(t)dt=0\] vu les hypothèses sur \(f\) : les coefficients de Fourier de l’application \(\widetilde f\) continue sur \([0,2\pi]\) et \(2\pi\)-périodique sont tous nuls, comme corollaire de la formule de Parseval1 elle est donc identiquement nulle et par suite \(f\). Modulo translation et homothétie le résultat en découle sur tout intervalle \([a,b]\) de \(\mathbb R\).


  1. 1  voir par exemple......

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