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[ID: 2931] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:31] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

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Calcul de \(\int_0^\pi \cos(\cos(x))\rm{ch}(\sin(x))\cos(nx)dx, n\in\mathbb N\), via Fourier
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:31

Tout calcul direct semble déraisonnable, on contourne cette difficulté en utilisant comme dans l’exercice ?????? les séries de Fourier. L’application régulière \(f(x)=\cos(\cos(x))\text{ch}(\sin(x))\) est \(2\pi\)-périodique paire, son coefficient de Fourier \(a_n\) vérifie donc \[a_n=\dfrac{2}{\pi}\int_0^\pi \cos(\cos(x))\text{ch}(\sin(x))\cos(nx)dx=\dfrac{2}{\pi}I_n.\] Il ne reste donc plus qu’à calculer \(a_n\). Pour cela écrivons \[\begin{aligned}f(x)&=\cos(\cos(x))\text{ch}(\sin(x))=\cos(\cos(x))\cos(i\sin(x))\\ &=\dfrac{1}{2}\left[ \cos(\cos(x)+i\sin(x))+\cos(\cos(x)-i\sin(x))\right] \\ &=\dfrac{1}{2}\left[ \cos(e^{ix})+\cos(e^{-ix})\right] =\sum_{k=0}^\infty \dfrac{e^{2ikx}+e^{-2ikx}}{2}\dfrac{(-1)^k}{(2k)!} =\sum_{k=0}^\infty\dfrac{(-1)^k}{(2k)!}\cos(2kx).\end{aligned}\] Cette dernière série étant normalement convergente sur \([0,2\pi]\), c’est la série de Fourier de \(f\), par conséquent \[I_n=\int_0^\pi \cos(\cos(x))\text{ch}(\sin(x))\cos(nx)dx=\begin{cases} \dfrac{\pi}{2}\dfrac{(-1)^k}{(2k)!}&\quad\text{si}\quad n=2k\\ 0&\quad\text{sinon.}\end{cases}\] Q.E.D.