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[ID: 2929] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:31] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

\(\int_0^1( \int_0^1 f(x,y)dx)^2 dy+\int_0^1( \int_0^1 f(x,y)dy)^2 dx\leq ( \int_0^1\int_0^1 f(x,y)dxdy)^2+\int_0^1\int_0^1\,f(x,y)^2dxdy\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:31

Considèrons pour \(m,n\in\mathbb Z\) \[\widehat{f}(n,m)=\int_0^1\int_0^1\,f(x,y)e^{-2i\pi(nx+my)}dxdy\] les coefficients de Fourier de \(f\). En particulier \[\widehat{f}(0,0)=\int_0^1\int_0^1 f(x,y)dxdy.{(1)}\] La fonction \(x\mapsto \int_0^1 f(x,y)dy\) est une fonction dont la série de Fourier est \(\sum_{n\in\mathbb Z}\widehat{f}(n,0)e^{-2i\pi nx}\). De carré intégrable sur \([0,1]\), on peut lui appliquer la formule de Parseval \[\int_0^1\left( \int_0^1 f(x,y)dy\right)^2 dx=\sum_{n\in\mathbb Z}\left\vert \widehat{f}(n,0)\right\vert^2.{(2)}\] De même \[\int_0^1\left( \int_0^1 f(x,y)dx\right)^2 dy=\sum_{m\in\mathbb Z}\left\vert \widehat{f}(0,m)\right\vert^2.{(3)}\] En appliquant Parseval dans \(L^2([0,1]^2)\) à \((x,y)\mapsto f(x,y)\) on a aussi \[\int_0^1\int_0^1\,f(x,y)^2dxdy=\sum_{n\in\mathbb Z}\sum_{m\in\mathbb Z}\left\vert \widehat{f}(n,m)\right\vert^2.{(4)}\] Avec \((1), (2), (3)\) et \((4)\) on a \[\begin{aligned}\left( \int_0^1\int_0^1 f(x,y)dxdy\right)^2+&\int_0^1\int_0^1\,f(x,y)^2dxdy-\int_0^1\left( \int_0^1 f(x,y)dx\right)^2 dy\\&-\int_0^1\left( \int_0^1 f(x,y)dy\right)^2 dx =\sum_{n\in\mathbb Z^\star}\sum_{m\in\mathbb Z^\star}\left\vert \widehat{f}(n,m)\right\vert^2\geq 0\end{aligned}\] Q.E.D.