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[ID: 2927] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:31] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Fonction \(2\pi\)-périodique continue à coefficients de Fourier positifs
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:31

1. Soit \(0<r<1\) \[\begin{aligned} \sum_{n\in\mathbb Z} c_n(f)r^{\vert n\vert} &= \sum_{n\in\mathbb Z} \dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(t)e^{-int}r^{\vert n\vert}dt\\ &=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sum_{n\in\mathbb Z}f(t)e^{-int}r^{\vert n\vert}dt\qquad\text{par NCV sur}\ [0,2\pi]\\ &=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\left( \sum_{n=0}^\infty e^{-int}r^{n}+\sum_{n=1}^{\infty} e^{int}r^{n}\right) dt\\ &=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\left(\dfrac{1}{1-re^{-it}}+\dfrac{re^{it}}{1-re^{it}}\right)dt \\ &=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\dfrac{1-r^2}{1-2r\cos(t)+r^2}dt \end{aligned}\]

2. En considérant \(f\equiv 1\) la formule précédente se resume à \[\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)P_r(t)dt=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}P_r(t)dt=c_0(f)=1.\] De là, pour \(f\in\mathscr C_{2\pi}^0\) \[\sum_{n\in\mathbb Z} c_n(f)r^{\vert n\vert}=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}P_r(t)f(t)dt \leq \dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\vert f(t)\vert P_r(t)dt\leq \Vert f\Vert_\infty \dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} P_r(t)dt=\Vert f\Vert_\infty.\] Soit \(N\in\mathbb N\) nous pouvons donc écrire \[0\leq \sum_{k=-N}^N c_k(f)r^{\vert n\vert}\leq \Vert f\Vert_\infty,\qquad\forall\,r\in]0,1[,\] soit, si \(r\) tends vers \(1_-\) \[0\leq \sum_{k=-N}^N c_k(f)\leq \Vert f\Vert_\infty,\ \forall\,n\in\mathbb N.\]

3. Les coefficients de Fourier de \(f\) étant positifs, la convergence de la série \(\sum_{k\in\mathbb Z}c_k(f)\) en découle ; elle entraine la normale convergence sur \(\mathbb R\) de la série de Fourier de \(f\).

   Il ne reste plus qu’à se souvenir que si la série de Fourier d’une application \(f\in\mathscr C^0_{2\pi}\) converge uniformément sur un intervale de longueur supérieure à \(2\pi\) c’est nécessairement vers \(f\) ( poser \(g=\sum_\mathbb Z c_k(f)e^{ikx}\), montrer que \(c_k(f)=c_k(g),\ \forall\,k\), et en déduire via Parseval de \(f-g\equiv 0\)).