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[ID: 2925] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:31] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

SON et SCV
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:31

-On commence par remarquer qu’on ne pert pas en généralité en supposant que \(\overline{\rm{vect}\{f_n\}}_{L^2}=L^2([0,1])\) : en effet, si ce n’est pas le cas on rajoute à la suite \((f_n)_n\) une suite \((g_n)_n\) vérifiant les mêmes hypothèses mais aussi \(\overline{\rm{vect}\{f_n\}\cup\{g_m\}}_{L^2}=L^2([0,1])\) (une telle suite \((g_n)\) existe : considérer pour cela la base hilbertienne .......).

-Supposons maintenant qu’il existe une sous-suite \((f_{n_k})_k\) et une application \(f\in\mathscr C^0([0,1])\) telles que \[\lim_{k\to\infty}f_{n_k}(x)=f(x),\qquad \forall\,x\in [0,1].\] Soit \(m\in\mathbb N\), la seconde hypothèse sur la suite \((f_n)_n\) nous permet d’appliquer le théorème de la convergence dominée : \[0=\lim_{k\to\infty}\int_0^1 f_{n_k}(t)f_m(t)dt=\int_0^1 f(t)f_m(t)dt,\] soit \[\forall\,m\in\mathbb N\quad :\quad \int_0^1 f(t)f_m(t)dt=0\] et par conséquent \(f=0_{L^2}\) est donc nulle presque partout. Mais toujours par convergence dominée \[1=\lim_{k\to\infty}\int_0^1 f_{n_k}^2 (t)dt=\int_0^1f^2(t)dt,\] tout ceci est absurde et l’exercice est terminé.