Soit \(\sum_{n\geq 0} a_nx^n\) une série entière de rayon de convergence égal à \(1\). On suppose que \(\forall\,n\geq 1\ :\ a_n\geq 0\). Si la série \(\sum_n a_n\) diverge, montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to 1_-}\sum_n a_nx^n=+\infty\).


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[ID: 2921] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:31] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




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Séries entières, comportement au bord
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:31

Vu les hypothèses, \(\forall\,A>0,\ \exists\, m\in\mathbb N\ :\ a_0+a_1+\dots+a_m>A+1\) et par continuité de \(x\mapsto a_0+a_1x+\dots+a_mx^m\) il existe \(0<\delta_{A}<1\) tel que pour tout \(x\in\,]1-\delta_A,1[\ :\ a_0+a_1x+\dots+a_mx^m>A\). Tout étant positif, à fortiori \(\sum_n\,a_nx^n\geq a_0+a_1x+\dots+a_mx^m>A\). En résumé

\[\left(\forall\,A>0,\ \exists\,\delta_A\in]0,1[\ :\ \forall\,x\in]1-\delta_A,1[,\ \sum_n\,a_nx^n>A\right)\Longrightarrow \lim_{x\to 1_-}\sum_n a_nx^n=+\infty.\]


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