Barre utilisateur

[ID: 2919] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:31] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Étude de \(f(x) = \sum^{ \infty}_{ n=1}\sin (nx) \exp \left(-n^a \right)\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:31

1. Posons \(u_n(x)=e^{inx}e^{-n ^a}\). La fonction \(u_n\) est de classe \({\mathscr C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\), et si \((n,k)\in\mathbb{N}^*\times \mathbb{N}\) et \(x\in\mathbb{R}\) :

   \[{u_n}^{(k)}(x)=(in)^ke^{inx}e^{-n ^a}.\]

   Notant \(\vert\vert\;\vert\vert _\infty\) la norme uniforme sur \(\mathbb{R}\), on a donc \(\vert\vert{u_n}^{(k)}\vert\vert _\infty =n^ke^{-n ^a}\). Par croissance comparée il vient, à \(k\) fixé : \(\vert\vert{u_n}^{(k)}\vert\vert _\infty =o(1/n^2)\) quand \(n\rightarrow +\infty\) de sorte que \(\sum_{n\geqslant 1}{u_n}^{(k)}\) coverge normalement donc uniformément sur \(\mathbb{R}\). Ceci étant vrai pour tout \(k\), \(\sum_{n\geqslant 1} u_n\) est de classe \({\mathscr C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\), et il en va de même de sa partie imaginaire \(f\).

2. Soit \(g(x)=\sum_{n\geqslant 1}e^{inx}e^{-n ^a}\) de sorte que \(f\)=Im\(\;(g)\). Si \((x,h)\in\mathbb{R}^2\) est tel que la série double :

   \[\sum_{n\geqslant 1,\; k\geqslant 1}e^{-n ^a}\frac{(n\vert h\vert)^k}{k!}\]

   converge, le calcul suivant est justifié :

   \[g(x+h)=\sum_{n\geqslant 1}e^{-n ^a}e^{inx}\left( \sum_{k\geq O}\frac{(inh)^k)}{k!} \right)=\sum_{k\geq 0}\left(\sum_{n\geq 1}(in)^ke^{-n^\alpha}e^{inx}\right) \frac{h^k}{k!} =\sum_{k\geqslant 0}\frac{g^{(k)}(x)}{k!}h^k.\]

   Or, si \(a>1\), la relation :

   \[\sum_{k\geqslant 0}\frac{(n\vert h\vert)^k}{k!}=e^{n\vert h\vert},\]

   la positivité des \(e^{-n ^a}(n\vert h\vert)^k/k!\) et la convergence de \(\sum_{n\geqslant 1}e^{n\vert h\vert}e^{-n ^a}\) (immédiate par exemple par la règle de d’Alembert) établissent bien la convergence de la série double susmentionnée. Il s’ensuit que :

   \[\forall (x,h)\in\mathbb{R}^2,\qquad g(x+h) =\sum_{k\geqslant 0}\frac{g^{(k)}(x)}{k!}h^k.\]

   Prenant les parties imaginaires, on obtient :

   \[\forall (x,h)\in\mathbb{R}^2, \qquad f(x+h)=\sum_{k\geqslant 0}\frac{f^{(k)}(x)}{k!}h^k.\]

   Si \(a=1\), la série double précédente converge pourvu que \(\vert h\vert<1\) (toujours par la règle de d’Alembert). Ainsi :

   \[\forall (x,h)\in\mathbb{R}\times ]-1,1[, \qquad f(x+h)=\sum_{k\geqslant 0}\frac{f^{(k)}(x)}{k!}h^k.\]

   Dans ce cas, on peut par ailleurs observer que :

   \[g(x)=\frac{e^{(ix-1)}}{1-e^{(ix-1)}}.\]

   Montrons enfin, si \(0<a<1\), que la série :

   \[\sum_{k\geqslant 0}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}h^k\]

   ne converge pour aucune valeur de \(h\) dans \(\mathbb{R}^*\). Les arguments donnés dans a) prouvent que :

   \[\forall k\in\mathbb{N},\quad \forall x\in\mathbb R,\quad f^{(4k+1)}(x)= \sum_{n\geqslant 0}n^{4k+1}e^{-n ^a}\cos (nx).\]

   En particulier :

   \[f^{(4k+1)}(0)=\sum_{n\geqslant 0}n^{4k+1}e^{-n ^a}.\]

   Soit, si \(k\in\mathbb{N}\) : \(n_k=E\left( (4k+1)^{1/a}\right)\). Alors :

   \[f^{(4k+1)}(0)\geqslant {n_k}^{4k+1}e^{-{n_k} ^a}\geqslant \left( (4k+1)^{1/a}-1\right)^{4k+1} e^{-(4k+1)}.\]

   D’où, vu que \(1/a>1\) :

   \[\frac{f^{(4k+1)}(0)}{(4k+1)!}\geqslant \frac{(4k)^{(4k+1)/a}e^{-(4k+1)}}{(4k+1)!}.\]

   Si :

   \[u_k=\frac{(4k)^{(4k+1)/a}e^{-(4k+1)}}{(4k+1)!},\]

   \(u_{k+1}/u_k\) tend vers \(+\infty\) par un calcul immédiat. Il en résulte aussitôt que :

   \[\sum_{k\geqslant 0}\frac{f^{(4k+1)}(0)}{(4k+1)!}h^{4k+1}\]

   ne converge que pour \(h=0\) puis, compte tenu de la convergence absolue d’une série entière en tout point du disque ouvert de convergence, que :

   \[\sum_{k\geqslant 0}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}h^k\]

   ne converge que pour \(h=0\).

   En conclusion, \(f\) est développable en série entière au voisinage de tout point si et seulement si \(a\in]0,1]\).

   Remarque : Notons \({\mathscr E}\) l’ensemble des suites \((c_n)_{n\in\mathbb{Z}}\) telles qu’il existe \(r\) dans \(]0,1[\) vérifiant \(c_n=O(r^{\vert n\vert})\) quand \(n\rightarrow \pm\infty\). On peut démontrer que l’application qui à une fonction continue sur \(\mathbb{R}\) et \(2\pi\)-périodique associe la suite \((c_n(f))_{n\in\mathbb{Z}}\) de ses coefficients de Fourier exponentiels induit une bijection de l’espace des fonctions \(2\pi\)-périodiques analytiques de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\) sur \({\mathscr E}\), la bijection réciproque associant à \((c_n)_{n\in\mathbb{Z}}\) la fonction :

   \[x\mapsto \sum_{-\infty}^{+\infty}c_ne^{inx}.\]

   Avec cette caractérisation, le résultat de l’exercice est immédiat.