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[ID: 2917] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:31] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Séries entières, déterminant, systèmes linéaires
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:31

1. Solution 1 : De l’égalité \[az+b=(z^2+cz+d)\sum_{n\geq 0}c_nz^n\] on tire \[c_0=\dfrac{b}{d},\quad c_1=\dfrac{ad-bc}{d^2}\quad\text{et}\quad dc_{n+2}+cc_{n+1}+c_n=0,\ n\in\mathbb N\] si bien que \[\begin{aligned}c_{n+1}c_{n+3}-c_{n+2}^2&=c_{n+1}\left( -\dfrac{c}{d}c_{n+2}-\dfrac{1}{d}c_{n+1}\right)-c_{n+2}^2 \\ &=-\dfrac{c}{d}c_{n+1}c_{n+2}-c_{n+2}^2-\dfrac{1}{d}c_{n+1}^2\\ &=c_{n+2}\left( -\dfrac{c}{d}c_{n+1}-c_{n+2}\right) -\dfrac{1}{d}c_{n+1}^2\\ &=\dfrac{1}{d}\left( c_{n+2}c_{n}-c_{n+1}^2\right) \\ &\dots\\ &=\dfrac{1}{d^{n+1}}\left( c_{2}c_{0}-c_{1}^2\right). \end{aligned}\] -Ainsi pour \(c_{2}c_{0}-c_{1}^2\ne 0\ \) i.e. \(\ abc-b^2-a^2d\ne 0\) : \[\dfrac{\text{det}\begin{pmatrix}c_n &c_{n+1}\\c_{n+1}&c_{n+2}\end{pmatrix}} {\text{det}\begin{pmatrix}c_{n+1} &c_{n+2}\\c_{n+2}&c_{n+3}\end{pmatrix}}=d\] est bien indépendant de \(n\).

   -Et pour \(abc-b^2-a^2d= 0\) on a \[\text{det}\begin{pmatrix}c_n &c_{n+1}\\c_{n+1}&c_{n+2}\end{pmatrix}= \text{det}\begin{pmatrix}c_{n+1} &c_{n+2}\\c_{n+2}&c_{n+3}\end{pmatrix}=0\] et le quotient n’est pas défini.

2. Solution 2 : Toujours de l’égalité \[az+b=(z^2+cz+d)\sum_{n\geq 0}c_nz^n\] comparant les coefficients de \(z^{n+2}\) et \(z^{n+3}\) des deux cotés on tire \[\begin{cases}c_n+cc_{n+1}+dc_{n+2}&= 0\\ c_{n+1}+cc_{n+2}+dc_{n+3}&=0\end{cases}\] En considérant ces deux égalités comme un système linéaire d’inconnues \(c\) et \(d\), les régles de Kramer donnent \[d= \dfrac{\text{det}\begin{pmatrix}c_n &c_{n+1}\\c_{n+1}&c_{n+2}\end{pmatrix}} {\text{det}\begin{pmatrix}c_{n+1} &c_{n+2}\\c_{n+2}&c_{n+3}\end{pmatrix}}\] pourvu que le dénominateur ne s’annule pas, i.e. \[\text{det}\begin{pmatrix}c_{n+1} &c_{n+2}\\c_{n+2}&c_{n+3}\end{pmatrix}=abc-b^2-a^2d\ne 0.\]