Barre utilisateur

[ID: 2915] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:31] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Séries de Fourier, dérivation
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:31

La fonction \(f\) étant de classe \(\mathscr C^2\) et vérifiant \(f(0)=f(1)=0\) il existe une unique fonction \(\tilde f\) impaire, \(2\)-périodique dont la restriction à \([0,1]\) est \(f\). On vérifie sans peine que cette fonction est \(\mathscr C^1\) sur \(\mathbb R\) (et même \(\mathscr C^2\) par morceaux). Calculons ses coefficients de Fourier (complexes), bien entendu \(c_0(\tilde f)=0\) et pour \(n\in\mathbb Z^\star\) une intégration par parties donne \[c_n(\tilde f)=\dfrac{1}{2}\int_{-1}^1\tilde f(t)e^{-int}dt=\dfrac{1}{2i\pi n}\int_{-1}^1\tilde f'(t)e^{-int}dt\] une seconde intégration par parties est licite puisque \(\tilde f'\) est continue et \(\mathscr C^1\) par morceaux : \[c_n(\tilde f)=\dfrac{1}{2i\pi n}\left[ \dfrac{\tilde f'(t)e^{-int}}{-i\pi n}\right]_{-1}^1 + \dfrac{1}{2(i\pi n)^2}\int_{-1}^1\tilde f''(t)e^{-int}dt=-\dfrac{c_n(\tilde f'')}{\pi^2n^2}\] (le terme entre crochets est nul car \(\tilde f'\) est paire). Vu la régularité de \(\tilde f\), les théorèmes classiques nous assurent que la série de Fourier de \(\tilde f\) est normalement convergente sur \(\mathbb R\) avec pour somme \(\tilde f\), soit \[\tilde f(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}c_n(f)e^{in\pi x}=-\dfrac{1}{\pi^2}\sum_{n\in\mathbb Z^\star}\dfrac{c_n(\tilde f'')}{n^2}e^{in\pi x},\quad\forall\,x\in\mathbb R.\] En particulier \[\forall\,x\in[0,1]\quad :\quad \vert f(x)\vert=\vert\tilde f(x)\vert\leq\dfrac{1}{\pi^2}\sum_{n\in\mathbb Z^\star}\dfrac{\vert c_n(\tilde f'')}{n^2}\] soit en appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz (\(\sum_{n\geq 1}n^{-4}=\frac{\pi^4}{90}\)) \[\begin{aligned}\forall\,x\in[0,1]\quad :\quad \vert f(x)\vert^2&\leq \dfrac{1}{\pi^4}\sum_{n\in\mathbb Z^\star}\vert c_n(\tilde f'')\vert^2\sum_{n\in\mathbb Z^\star}\dfrac{1}{n^4}\\ &\leq\dfrac{2}{\pi^4}\sum_{n\in\mathbb Z^\star}\vert c_n(\tilde f'')\vert^2\sum_{n\geq 1}\dfrac{1}{n^4}=\dfrac{1}{45}\sum_{n\in\mathbb Z^\star}\vert c_n(\tilde f'')\vert^2 \end{aligned}\] \(\tilde f''\) étant \(2\)-périodique et continue par morceaux, on peut lui appliquer le théorème de Parseval : \[\dfrac{1}{2}\int_{-1}^1\vert \tilde f''(t)\vert^2dt=\sum_{n\in\mathbb Z^\star}\vert c_n(\tilde f'')\vert^2,\] si bien que pour tout \(x\in[0,1]\) \[\vert f(x)\vert \leq \dfrac{1}{45}\Vert f''\Vert_2^2\] soit \[\Vert f\Vert_ \infty\leq \dfrac{\Vert f''\Vert_2}{3\sqrt 5}\] d’où le résultat.