On considère la suite de fonctions \((f_n)_{n\geq 1}\) définie sur \([0,\pi]\) par \[f_n(x)=\dfrac{1}{n^2}\sin\left[ \left( 2^{n^3}+1\right) \dfrac{x}{2}\right] .\]

  1. Montrer que la série de fonctions \(\sum_{n\geq 1}f_n\) converge normalement sur \([0,\pi]\).

    On désigne alors par \(f\) la fonction paire, continue, \(2\pi\)-périodique sur \(\mathbb R\) vérifiant pour tout \(x\in[0,\pi]\ :\quad f(x)=\sum_{n\geq 1}f_n(x)\).

  2. Montrer que \(f\in\mathscr C^0_{2\pi}\).

  3. On pose pour \(\displaystyle p,k\in\mathbb N,\quad I_{p,k}=\int_0^\pi\cos(pt)\sin\left( \dfrac{2k+1}{2}t\right) dt,\quad\) et pour tout entier \(q\in\mathbb N\quad:\quad T_{q,k}=\sum_{p=0}^q I_{p,k}\).

    1. Calculer, pour \(p,k\) entiers naturels l’intégrale \(I_{p,k}\).

    2. Pour \(q,k\in\mathbb N\), déterminer un réel positif \(c_k\) tel que \(\displaystyle T_{q,k}=c_k+\sum_{j=k-q}^{k+q}\dfrac{1}{2j+1}\).

    3. En déduire que \(\ T_{q,k}\geq 0\) pour tout couple \((q,k)\) d’entiers.

    4. Déterminer un équivalent simple de \(\ \sum_{k=0}^N\dfrac{1}{2k+1}\) au voisinage de \(+\infty\).

    5. En déduire que \(\displaystyle \ T_{k,k}\underset{k\to+\infty}{\sim}\dfrac{\log(k)}{2}.\)

  4. Montrer que pour tout \(\displaystyle p\in\mathbb N^\star,\quad a_p(f)=\dfrac{2}{\pi}\sum_{n\geq 1}\dfrac{1}{n^2}I_{p,2^{n^3-1}}.\)

  5. Montrer que pour tout \(\displaystyle p\in\mathbb N^\star,\quad S_{2^{p^3-1}}(f)(0)\geq -\dfrac{a_0(f)}{2}+\dfrac{2}{\pi p^2}T_{2^{p^3-1},2^{p^3-1}}\) (on pourra remarquer que \(\frac{a_0(f)}{2}+\sum_{l=1}^Na_l(f)=-\frac{a_0(f)}{2}+\sum_{l=0}^Na_l(f)\)...).

  6. En déduire que la suite \((S_n(f)(0))_n\) diverge.


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[ID: 2913] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:30] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Une fonction continue dont la série de Fourier diverge à l’origine
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:30
  1. La convergence normale est évidente (\(\Vert f_n\Vert_\infty= 1/n^2\) ) la série \(\sum_{n\geq 1}f_n\) est donc une fonction continue sur \([0,\pi]\).

  2. Par parité et prolongement \(2\pi\)-périodique, \(\lim_{x\to -\pi_+}f(x)=\lim_{x\to \pi_+}f(x)=\lim_{x\to \pi_-}f(x)\) : \(f\) est donc bien continue en les points \(k\pi,\ k\in\mathbb Z\) ce qui était le seul point douteux.

  3. a) De la formule \(\sin(a)\cos(b)=\frac{1}{2}(\sin(a+b)+\sin(a-b))\) on tire \[\begin{aligned}I_{p,k}&=\int_0^\pi\cos(pt)\sin\left( \dfrac{2k+1}{2}t\right) dt \\ &=\dfrac{1}{2}\int_0^\pi \left[ \sin\left( \left( \dfrac{2k+1}{2}+p\right) t\right)+\sin\left( \left( \dfrac{2k+1}{2}-p\right) t\right) \right] dt\\&= -\dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{ \cos\left( \left( \dfrac{2k+1}{2}+p\right) t\right)}{ \dfrac{2k+1}{2}+p}+\dfrac{ \cos\left( \left( \dfrac{2k+1}{2}+p\right) t\right)}{ \dfrac{2k+1}{2}-p}\right]_0^\pi\\ &=\dfrac{1}{2(k+p)+1}+\dfrac{1}{2(k-p)+1} \end{aligned}\]

    b) On peut alors écrire : \[\begin{aligned} T_{q,k}&=\sum_{p=0}^q I_{p,k}=\sum_{p=0}^q\dfrac{1}{2(k+p)+1}+\sum_{p=0}^q\dfrac{1}{2(k-p)+1}\\ &=\sum_{j=k}^{k+q}\dfrac{1}{2j+1}+\sum_{j=k-q}^{k}\dfrac{1}{2j+1}\\ &=\dfrac{1}{2k+1}+\sum_{j=k-q}^{k+q}\dfrac{1}{2j+1}\\ &=c_k+\sum_{j=k-q}^{k+q}\dfrac{1}{2j+1} \end{aligned}\] avec \(c_k=\dfrac{1}{2k+1}>0\).

    c) Si \(k\geq q\) il est évident que \(T_{q,k}\geq 0\).

    Maintenant, si \(k<q\) il suffit de remarquer que \[\sum_{j=k-q}^{k+q}\dfrac{1}{2j+1}=\sum_{j=k-q}^{q-k}\dfrac{1}{2j+1}+\sum_{j=q-k+1}^{k+q}\dfrac{1}{2j+1}=\dfrac{1}{2(q-k)+1}+\sum_{j=q-k+1}^{k+q}\dfrac{1}{2j+1}\geq 0\] puisque \(q-k+1\geq 0.\)

    d) Par décroissance de \(x\mapsto (2x+1)^{-1}\) sur \(\mathbb R_+\) on peut écrire pour tout \(N\in\mathbb N^\star\) \[\int_1^N\dfrac{dt}{2t+1}\leq \sum_{k=0}^N\dfrac{1}{2k+1}\leq \int_0^N\dfrac{dt}{2t+1},\] soit \[\dfrac{\log(2N+1)-\log(3)}{2}\leq \sum_{k=0}^N\dfrac{1}{2k+1}\leq \dfrac{\log(2N+1)}{2}\] qui implique \(\quad\displaystyle \sum_{k=0}^N\dfrac{1}{2k+1}\underset{N\to\infty}{\sim}\dfrac{\log(N)}{2}.\)

    e) Avec (15-b) et (15-d) \[T_{k,k}=\dfrac{1}{2k+1}+\sum_{j=0}^{2k}\dfrac{1}{2j+1}\underset{k\to\infty}{\sim}\dfrac{\log(2k)}{2}\underset{k\to\infty}{\sim}\dfrac{\log(k)}{2}.\]

  4. Soit \(p\in\mathbb N^\star\) \[\begin{aligned}a_p(f)&=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos(pt)dt=\dfrac{2}{\pi}\int_{0}^\pi \sum_{n\geq 1}f_n(t)\cos(pt)dt\\ &=\dfrac{2}{\pi}\sum_{n\geq 1}\int_{0}^\pi f_n(t)\cos(pt)dt\qquad(\text{par NCV (question 13) sur }\ [0,\pi])\\ &=\dfrac{2}{\pi}\sum_{n\geq 1}\int_{0}^\pi \dfrac{1}{n^2}\sin\left[ \left( 2^{n^3}+1\right) \dfrac{t}{2}\right]\cos(pt)dt\\ &=\dfrac{2}{\pi}\sum_{n\geq 1}\dfrac{1}{n^2}I_{p,2^{n^3-1}}. \end{aligned}\]

  5. De l’égalité précédente et sachant que (15-c) les quantités \(T_{p,k}\) sont toujours positives, on a pour tout \(p\geq 1\) \[a_p(f)\geq \dfrac{2}{\pi n^2}I_{p,2^{n^3-1}},\quad\forall\,n\in\mathbb N^\star.\] Ainsi \[\begin{aligned} S_{2^{N^3-1}}(f)(0)&=\dfrac{a_0(f)}{2}+\sum_{n=1}^{2^{N^3-1}} a_n(f)=-\dfrac{a_0(f)}{2}+\sum_{n=0}^{2^{N^3-1}} a_n(f)\\ &\geq -\dfrac{a_0(f)}{2}+\sum_{n=0}^{2^{N^3-1}}\dfrac{2}{\pi {N}^2}I_{n,2^{N^3-1}}\\ &=-\dfrac{a_0(f)}{2}+\dfrac{2}{\pi {N}^2}T_{2^{N^3-1},2^{N^3-1}} \end{aligned}\]

  6. L’équivalent obtenu en (15-e) nous donne \[\dfrac{2}{\pi {N}^2}T_{2^{N^3-1},2^{N^3-1}}\underset{N\to\infty}{\sim} \dfrac{2}{\pi {N}^2} \dfrac{\log(2^{N^3-1})}{2}\underset{N\to\infty}{\sim}\dfrac{N^3\log(2)}{\pi N^2}=\dfrac{N\log(2)}{\pi}.\] Cette dernière quantité tendant vers \(+\infty\) avec \(N\), on a avec la question (17) \[\lim_{N\to\infty} S_{2^{N^3-1}}(f)(0)=+\infty.\] La suite \((S_n(f)(0))_n\) est donc divergente : \(f\) n’est pas développable en série de Fourier à l’origine.


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