Soit \(f\,:\ \mathbb R\rightarrow \mathbb R\) la fonction paire, \(2\pi\)-périodique égale à \(\sqrt x\) sur \([0,\pi]\).

  1. Y a-t-il dans le cours un théorème permettant d’affirmer que \(f\) est développable en série de Fourier ?

  2. Soit \(G\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(\displaystyle G(x)= \int_0^x \sin(t^2)dt\), montrer que pour tout \(x>0\)

    \[G(x) = {{1-\cos(x^2)}\over 2x}+\int_0^x{{1-\cos(t^2)}\over 2t^2}dt.\]

    En déduire que la limite \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}G(x)\) existe, est finie et strictement positive.

  3. Soit pour \(\displaystyle n\in\mathbb N,\ a_n= {2\over \pi}\int_0^\pi f(t)\cos(nt)dt\). à l’aide de la question précédente montrer que \(a_n= 0(n^{-3/2})\).

  4. Montrer sans Fejèr que \(f\) est développable en série de Fourier.

  5. Montrer avec Fejèr que \(f\) est développable en série de Fourier.


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[ID: 2909] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:30] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Une fonction continue non dérivable à l’origine mais développable en série de Fourier (1)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:30
  1. Non car en les points \(2k\pi,\ (k\in\mathbb Z\)) \(f\) n’est pas dérivable et n’admet pas de dérivée à droite et à gauche (ailleurs \(f\) est continue et \(\mathscr C^\infty\) sauf en les points \((2k+1)\pi, k\in\mathbb Z\) ou \(f\) n’est pas dérivable mais admet une dérivée à droite et à gauche).

  2. C’est une bestiale intégration par parties faisant apparaître une intégrale généralisée (avec la régle habituelle qu’elle marche si deux termes parmi les trois existent : en zéro pas problème — faire un DL—) il en résulte (le premier terme à droite tend vers zéro car majoré par \(1/2\vert x\vert\) et \({{1-\cos(t^2)}\over{2t^2}}\) est intégrable en l’infini puisque majoré en module par \(1/\vert x\vert^2\) ) que \(\lim_{x\to \infty}G(x)\) existe et vaut \(\int_0^\infty {{1-\cos(t^2)}\over{2t^2}}dt= C>0.\)

  3. On a : \[\begin{aligned}a_n= {2\over\pi}\int_0^\pi\sqrt t \cos(nt)dt &= {2\over\pi}\int_0^{\sqrt{n\pi}} {u\over\sqrt n}\cos(u^2) {2u\,du\over n} \quad(\text{avec le changement }u= \sqrt{nt})\\ &= {4\over\pi n^{3/2}}\int_0^{\sqrt {n\pi}}u^2\cos(u^2)du\\ &={4\over\pi n^{3/2}}\left( \left[ \dfrac{u\sin^2(u)}{2}\right]_0^{\sqrt{n\pi}} -\int_0^{\sqrt{n\pi}}\dfrac{\sin(u^2)}{2}du\right) \\ &= -{2\over \pi n^{3/2}} G(\sqrt{n\pi})\underset{n\to\infty}{\sim} -{2C\over \pi n^{3/2}}\quad\text{ (d'après la question précédente)}. \end{aligned}\]

  4. Vu ce qui précède, la série de Fourier de \(f\) : \(S_f(x) := {a_0\over 2}+\sum_{n\geq 1} a_n\cos(nx)\) converge normalement sur \(\mathbb R\), par suite \(S_f\in\mathscr C^0_{2\pi}(\mathbb R)\) ; la convergence normale nous dit aussi que \({a_0\over 2}+\sum_{n\geq 1} a_n\cos(nx)\) est la série de Fourier de \(S_f\) i.e. les deux fonctions continues \(f\) et \(S_f\) ont les mêmes coefficients de Fourier : donc \(f= S_f\) (par exemple via Parseval appliqué à \(f-S_f\)...) i.e. \[f(x) = {a_0\over 2}+\sum_{n\geq 1} a_n\cos(nx),\] \(f\) est donc bien développable en série de Fourier.

  5. Le théorème de Féjer1 assure que les sommes partielles de la série de Fourier d’une fonction \(f\) continue convergent au sens de Césaro vers \(f\), c’est donc ici le cas, mais la série de Fourier de \(f\) est aussi convergente sur \(\mathbb R\) et la convergence usuelle implique la convergence au sens de Césaro et vers la même limite : le résultat suit.


  1. 1  Voir par exemple....

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