A.Pommellet, [rms]-6, 1992/93. On appelle polynôme trigonométrique toute application de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb C\) de la forme \(\displaystyle \quad P(t)= \sum_{k= -n}^n\,a_ke^{ikt},\ a_k\in\mathbb C\) ; et toute application du type \(\displaystyle \quad P(t)= \sum_{k= -n}^n\,a_ke^{i\lambda_kt}\), avec \(\ a_k\in\mathbb C, \lambda_k\in\mathbb R\) est un polynôme trigonométrique généralisé.

L’objectif de cet exercice est d’établir à l’aide des séries de Fourier la célébre inégalité suivante, due au mathématicien russe Bernstein :

\[\Vert P'\Vert_\infty\leq n\,\Vert P\Vert_\infty\quad \text{ pour tout polynôme trigonométrique }\ P.{(\bigstar)}\]

Pour tout polynôme trigonométrique généralisé, on pose \(\displaystyle\Lambda:= \max_{-n\leq k\leq n}\vert \lambda_k\vert\), on va montrer que

\[\Vert P'\Vert_\infty\leq \Lambda\,\Vert P\Vert_\infty \quad \text { pour tout polynôme trigonométrique généralisé }\ P.{(\text{$\star$})}\]

  1. ] Montrer que \((\text{$\star$})\ \Longrightarrow\ (\bigstar)\).

  2. Montrer que pour établir \((\text{$\star$})\) on peut toujours supposer que \(\Lambda= {\pi\over 2}\).

  3. Soit \(\Psi\) la fonction numérique qui vaut \(\ t\) sur \([-{\pi\over 2},{\pi\over 2}]\), \(\pi-t\) sur \([{\pi\over 2},{3\pi\over 2}]\) et qui est prolongée par \(2\pi\)-périodicité sur \(\mathbb R\) tout entier. Montrer que

    \[\Psi(t)= \sum_{l\geq 0}{{4 (-1)^l}\over{\pi(2l+1)^2}}\sin\left((2l+1)t\right), \quad\forall\,t\in\mathbb R.\]

  4. Montrer que \(\displaystyle P'(t)= i\sum_{k= -n}^na_k\Psi(\lambda_k)e {i\lambda_k t}\).

  5. En déduire que \(\quad\displaystyle P'(t)= {2\over \pi}\sum_{l= 0}^\infty {{(-1)^l}\over{(2l+1)^2}} \left( \,\sum_{k= -n}^n\,a_ke^{i(t+2l+1)\lambda_k}-\sum_{k= -n}^n a_ke^{i(t-2l-1)\lambda_k} \right)\)

  6. Puis \(\displaystyle\quad\Vert P'\Vert_\infty\leq {4\over\pi}\left(\sum_{l= 0}^\infty{1\over (2l+1)^2}\right)\Vert P\Vert_\infty\) et conclure.


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[ID: 2907] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:30] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Inégalité de Bernstein via les séries de Fourier
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:30
  1. C’est clair, car dans ce cas : \(\Lambda= \max\{0,1\dots,n\}= n\).

  2. Si \(\Lambda= 0\), \(P\) est constant et on a même égalité. Si \(\Lambda>0\) est différent de \(\pi/2\) on fait le changement de variable \(u= {2\over\pi\Lambda}t\) et

    \[P(t) = \sum_{k= -n}^n\,a_ke^{i\lambda_kt} = \sum_{k= -n}^n\,a_ke^{i{\pi\lambda_k\over2\Lambda}{2\Lambda\over\pi}t} = \sum_{k= -n}^n\,a_ke^{i{\pi\lambda_k\over 2\Lambda}u} = \sum_{k= -n}^n\,a_ke^{i\tilde\lambda_k u} = \tilde P(u)\]

    on a donc : \(\tilde P (x)= P({\pi x\over 2\Lambda})\) sur \(\mathbb R\), et \(\tilde\Lambda = {\pi\over 2}\) soit

    \[\Vert P\Vert_\infty= \Vert \tilde P\Vert_\infty,\quad\text{ et }\quad {\pi\over 2\Lambda}\Vert P'\Vert_\infty= \Vert\tilde P'\Vert_\infty\]

    (on a ici implicitement utilisé la relation évidente \(\widetilde{P'}= (\tilde P)'\)). Supposons maintenant \((\text{$\star$})\) vraie si \(\Lambda= {\pi\over 2}\), pour tout polynôme trigonométrique généralisé on aura

    \[\Vert\tilde P'\Vert_\infty\leq {\pi\over 2} \Vert \tilde P\Vert_\infty,\quad\text{ soit }\quad {\pi\over 2\Lambda}\Vert P'\Vert_\infty \leq {\pi\over 2} \Vert P\Vert_\infty\]

    i.e.

    \[\Vert P'\Vert_\infty\leq \Lambda\,\Vert P\Vert_\infty{(\text{$\star$})}\]

    Il ne reste donc plus qu’à établir \((\text{$\star$})\) pour tout polynôme trigonométrique généralisé vérifiant \(\Lambda= {\pi\over 2}\).

  3. \(\Psi\) est continue, \(2\pi\) périodique et \(C^1\) par morceaux, le théorème de Dirichlet nous assure que la série de Fourier de \(\Psi\) converge normalement sur \(\mathbb R\) vers \(\Psi\). Et un calcul élémentaire nous donne \[\Psi(t) = \sum_{l\geq 0}{{4(-1)^l}\over{\pi(2l+1)^2}}\sin\left((2l+1)t\right), \quad\forall\,t\in\mathbb R.\]

  4. Soit donc \(\displaystyle \quad P(t)= \sum_{k= -n}^n\,a_ke^{i\lambda_kt}\) un polynôme trigonométrique généralisé vérifiant \(\Lambda= {\pi\over 2}\). La grande astuce consiste à remarquer qu’alors

    \[\left( \Lambda= {\pi\over 2}\right) \quad\Longrightarrow\quad \left( \lambda_k= \Psi(\lambda_k), \quad -n\leq k\leq n \right) \quad\text{puisque sur }\quad[-{\pi\over2},{\pi\over 2}]\ :\ \Psi(t)= t\] on a alors : \[\begin{aligned} \left\vert P'(t)\right\vert &= \left\vert\sum_{k= -n}^n\,a_k i\lambda_ke^{i\lambda_kt}\right\vert\\ &= \left\vert\sum_{k= -n}^n\,ia_k \Psi(\lambda_k)e^{i\lambda_kt}\right\vert\\ &= \left\vert\sum_{k= -n}^n\,ia_k \left(\sum_{l\geq 0}{{4(-1)^l}\over{\pi(2l+1)^2}}\sin\left((2l+1)\lambda_k\right)\right)e^{i\lambda_kt} \right\vert\\ &= \left\vert \sum_{l\geq 0}\sum_{k= -n}^n{2(-1)^l \over \pi(2l+1)^2 }a_k \left( e^{i(t+2l+1)\lambda_k}-e^{i(t-2l-1)\lambda_k} \right) \right\vert\\ &\leq\sum_{l\geq 0}{2\over \pi(2l+1)^2}\left(\left\vert P\left(t+2l+1\right)\left\vert+\right\vert P\left(t-2l-1\right)\right\vert\right)\\ &\leq {4\Vert P\Vert_\infty \over\pi}\sum_{l\geq 0}{1\over (2l+1)^2}\\ &= {\pi\over 2}\Vert P\Vert_\infty,\quad\forall \,t\in\mathbb R, \end{aligned}\]

    (dans la dernière inégalité on a utilisé \(\sum{1\over (2l+1)^2}= {{\pi^2}\over 8}\) qu’on déduit de \(\sum{1\over l^2}= {{\pi^2}\over 6}\)...) soit \(\Vert P'\Vert_\infty\leq {\pi\over 2}\Vert P\Vert_\infty\) d’où \((\text{$\star$})\) si \(\Lambda= {\pi\over 2}\), et d’où \((\text{$\star$})\) pour tout polynôme trigonométrique généralisé vu la deuxième question , d’où l’inégalité de Bernstein par la première question .


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