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Inégalité de Bernstein via les séries de Fourier
A.Pommellet, [rms]-6, 1992/93. On appelle polynôme trigonométrique toute application de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb C\) de la forme \(\displaystyle \quad P(t)= \sum_{k= -n}^n\,a_ke^{ikt},\ a_k\in\mathbb C\) ; et toute application du type \(\displaystyle \quad P(t)= \sum_{k= -n}^n\,a_ke^{i\lambda_kt}\), avec \(\ a_k\in\mathbb C, \lambda_k\in\mathbb R\) est un polynôme trigonométrique généralisé.
L’objectif de cet exercice est d’établir à l’aide des séries de Fourier la célébre inégalité suivante, due au mathématicien russe Bernstein :
\[\Vert P'\Vert_\infty\leq n\,\Vert P\Vert_\infty\quad \text{ pour tout polynôme trigonométrique }\ P.{(\bigstar)}\]
Pour tout polynôme trigonométrique généralisé, on pose \(\displaystyle\Lambda:= \max_{-n\leq k\leq n}\vert \lambda_k\vert\), on va montrer que
\[\Vert P'\Vert_\infty\leq \Lambda\,\Vert P\Vert_\infty \quad \text { pour tout polynôme trigonométrique généralisé }\ P.{(\text{$\star$})}\]
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[ID: 2907] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:30] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Inégalité de Bernstein via les séries de Fourier
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:30
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:30
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