([rms],1997/98). Développer en série de Fourier la fonction \(\displaystyle\qquad f(x)={{1+\cos(x)}\over{4-2\cos(x)}}\).


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[ID: 2905] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:30] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Développement en série de Fourier de \(f(x)={{1+\cos(x)}\over{4-2\cos(x)}}\), série entière
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:30

\(f\) est clairement \(\mathscr C^\infty\) sur \(\mathbb R\), paire, \(2\pi\)-périodique, elle admet donc un développement en série de Fourier de la forme \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\cos(nx)\) et la convergence est uniforme sur \(\mathbb R\) (Dirichlet).

Il est sage de se persuader qu’un calcul direct des coefficients de Fourier \[a_n={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}{{1+\cos(x)}\over{4-2\cos(x)}}\cos(nx)dx\] est plus qu’incertain, voire déconseillé, voici donc deux méthodes qui donnent ce développement par des chemins détournés.

  1. Première méthode : \[f(x)={{1+\cos(x)}\over{4-2\cos(x)}}={{2+e^{ix}+e^ {-ix}}\over{2(4-e^{ix}-e^{-ix})}}= {{2e^{ix}+e^{2ix}+1}\over{2(4e^{ix}-e^{2ix}-1)}}=F(e^{ix})\text{ où }F(X)=-{{X^2+2X+1}\over{2(X^2-4X+1)}}\]

    Les pôles de \(F\) sont \(\alpha=2-\sqrt{3}\) et \(\alpha^{-1}\) et on peut (après avoir décomposé en éléments simples ) développer \(F\) en puissance relatives de \(X\), (on retrouve le développement en série de Laurent de la fonction méromorphe \(F\) sur \(\mathbb C\) sur la couronne \(C(0,\alpha,\alpha^{-1})\) pour ceux qui s’en souviennent)

    \[\begin{aligned}F(X)& = -{1\over 2}\left(1-{{\alpha\sqrt{3}}\over{X(1-{\alpha\over X})}}-{{\sqrt{3}}\over{1-\alpha X}}\right)\\ & = -{1\over 2}+{{\sqrt 3}\over 2}\sum_{n\in\mathbb Z}\alpha^{\vert n\vert}X^n,\qquad \alpha<\vert X\vert<\alpha^{-1} \end{aligned}\]

    le cercle unité étant clairement inclus dans la couronne \(\{\alpha<\vert X\vert<\alpha^{-1}\}\) on peut faire \(X=e^{ix}\) dans le développement précédent

    \[f(x)={{1+\cos(x)}\over{4-2\cos(x)}}=F(e^{ix})= -{1\over 2}+{{\sqrt 3}\over 2}\sum_{n\in\mathbb Z}\alpha^{\vert n\vert}e^{inx}={{\sqrt{3}-1}\over 2}+{\sqrt{3}\over 2}\sum_{n\geq 1}\sqrt{3}\left(2-\sqrt{2}\right)^n\cos(nx),\ \forall\,x\in\mathbb R.\]

    Nous avons donc trouvé un développement en série trigonométrique de \(f\) sur \(\mathbb R\), visiblement normallement convergente sur \(\mathbb R\) : c’est le développement en série de Fourier de \(f\) (la convergence uniforme sur un intervalle de longueur \(2\pi\) permet de s’en assurer (échange justifié de somme et d’intégrale))

  2. Seconde méthode : nous savons que \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\cos(nx)={{1+\cos(x)}\over{4-2\cos(x)}}\) qu’on peut aussi écrire

    \[\left( 4-2\cos(x)\right)\sum_{n=0}^\infty a_n\cos(nx)=1+\cos(x)\]

    la convergence étant normale sur \(\mathbb R\) en réordonnant, on trouve

    \[\left( 4a_0-a_1-1\right)+\left(4a_1-a_0-a_2-1\right)\cos(x)+\sum_{n\geq 2}\left(4a_n-a_{n-1}-a_{n+1}\right)\cos(nx)=0\]

    cette série trigonométrique étant normalement convergente sur \(\mathbb R\) ses coefficients sont nuls (c’est du cours) donc

    \[(\bigstar)\qquad \begin{cases} 4a_0-a_1&=1\\ 4a_1-a_0-a_2&=1\\ 4a_n-a_{n-1}-a_{n+1}&=0,\quad \forall\,n\geq 2. \end{cases}\]

    on retrouve un système classique à résoudre : son équation caractéristique est \(r^2-4r+1=0\) la solution générale est \(a_n=\lambda \left(2+\sqrt 3\right)^n+\mu\left(2-\sqrt 3\right)^n\). Comme \(\lim_n a_n=0\), \(\lambda\) est nul et \(a_n=a_1\left(2-\sqrt 3\right)^n,\,n\geq 1\), enfin avec les deux premières équations de \((\bigstar)\) il vient \(a_0={{\sqrt 3-1}\over 2},\ a_1=\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)\) et finalement

    \[f(x)={{\sqrt{3}-1}\over 2}+{\sqrt{3}\over 2}\sum_{n\geq 1}\sqrt{3}\left(2-\sqrt{2}\right)^n\cos(nx).\]


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