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Développement en série de Fourier de \(f(x)={{1+\cos(x)}\over{4-2\cos(x)}}\), série entière
([rms],1997/98). Développer en série de Fourier la fonction \(\displaystyle\qquad f(x)={{1+\cos(x)}\over{4-2\cos(x)}}\).
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[ID: 2905] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:30] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Développement en série de Fourier de \(f(x)={{1+\cos(x)}\over{4-2\cos(x)}}\),
série entière
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:30
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:30
\(f\) est clairement \(\mathscr C^\infty\) sur \(\mathbb R\), paire, \(2\pi\)-périodique, elle admet donc un développement en série de Fourier de la forme \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\cos(nx)\) et la convergence est uniforme sur \(\mathbb R\) (Dirichlet).
Il est sage de se persuader qu’un calcul direct des coefficients de Fourier \[a_n={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}{{1+\cos(x)}\over{4-2\cos(x)}}\cos(nx)dx\] est plus qu’incertain, voire déconseillé, voici donc deux méthodes qui donnent ce développement par des chemins détournés.
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