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[ID: 2903] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:30] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

\(f(x)=\sum_{m=0}^\infty e^{-m}\cos(m^2x)\) n’est pas développable en série entière
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:30

Que \(f\) soit de classe \(\mathscr C^\infty\) et que l’on puisse dériver sous la somme relève du théorème de Weierstrass, en effet les séries des dérivées de tout ordre sont normalement convergente sur \(\mathbb R\) car l’exponentielle l’emporte sur la puissance et les fonctions \(\sin\) et \(\cos\) sont bornées sur \(\mathbb R\)...

\[f\in \mathscr C^\infty(\mathbb R)\quad\text{et}\quad \forall\,k\in\mathbb N,\,x\in\mathbb R\ :\ f^{(k)}(x)= \sum_{m\geq 0}f^{(k)}_m(x)\]

en particulier

\[f^{(2n)}(0)=(-1)^n\sum_{m\geq 0}e^{-m}(m^2)^{2n}.\]

Donc, sous réserve de convergence, la série de Taylor de \(f\) à l’origine est donnée par (les dérivées impaires de \(f\) sont nulles)

\[\sum_{n \geq 0}{{f^{(n)}(0)}\over n!}x^n = \sum_{n \geq 0}{{f^{(2n)}(0)}\over (2n)!}x^{2n} =\sum_{n\geq 0} {{(-1)^nx^{2n}}\over (2n)!} \left(\sum_{m\geq 0}e^{-m}(m^2)^{2n}\right).\]

en particulier

\[\begin{aligned} {{\vert x\vert^{2n}}\over{(2n)!}}\vert f^{(2n)}(0)\vert &= {{\vert x\vert^{2n}}\over{(2n)!}}\sum_{m\geq 0}e^{-m}m^{4n}\\ &\geq \left({{\vert x\vert}\over{2n}}\right)^{2n} \sum_{m\geq 0}e^{-m}m^{4n}\\ &\geq \left({{\vert x\vert m^2}\over{2n}}\right)^{2n}e^{-m},\quad\forall\,m\in\mathbb N. \end{aligned}\]

et si on prend \(m=2n\)

\[{{\vert x\vert^{2n}}\over{(2n)!}}\vert f^{(2n)}(0)\vert \geq \left({{\vert x\vert 2n}\over{e}}\right)^{2n} \geq 1 \quad\text{ dès que }\quad n>{e\over 2\vert x\vert}\]

i.e. pour tout \(x\in\mathbb R\), le terme général de la série de Taylor de \(f\) à l’origine ne tend pas vers zéro dès que \(x\not=0\) : la série diverge grossièrement, le rayon de convergence est donc nul.

voir aussi l’exercice ??? pour l’exemple archi-classique d’une fonction \(\mathscr C^{\infty}\) sur \(\mathbb R\) non développable en série entière à l’origine à série de Taylor à l’origine convergente sur \(\mathbb R\).