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Approximations uniforme de la valeur absolue sur \([-1,1]\)
Utiliser les séries de Fourier pour approcher uniformément \(f(x)=\vert x\vert\) sur \([-1,1]\) par des polynômes.
Montrer que pour \(\alpha\in\mathbb R\setminus\mathbb N\) et \(\vert x\vert<1\)
\[(1+x)^\alpha = 1+\sum_{n=1}^{+\infty}{{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}\over{n!}}x^n {(\bigstar)}\]
en déduire pour \(\vert x\vert<1\) que
\[\vert x\vert = 1-{1\over 2}(1-x^2)-\sum_{n=2}^{+\infty}{{(2n-3)!!}\over{(2n)!!}}(1-x^2)^n {(\text{$\star$})}\]
Montrer que la suite de polynômes \((P_n)_n\) définie par
\[P_0(x)=0,\quad P_{n+1}(x)=P_n(x)+{1\over 2}\left(x-P_n^2(x)\right),\quad n\in\mathbb N\]
converge uniformément sur \([0,1]\) vers \(g(x)=\sqrt x\). En déduire une suite de polynômes qui converge uniformément sur \([-1,1]\) vers \(f(x)=\vert x\vert\).
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[ID: 2901] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:30] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Approximations uniforme de la valeur absolue sur \([-1,1]\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:30
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:30
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