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[ID: 2901] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:30] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Approximations uniforme de la valeur absolue sur \([-1,1]\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:30

1. \(x\in[-1,1]\), on pose donc \(x=\cos(t),\ t\in[-\pi,\pi]\). La fonction \(g(t)=f(\cos(t))=\vert\cos(t)\vert\) est \(2\pi\)-périodique continue et \(C^1\) par morceaux : elle est donc développable en série de Fourier et sa série de Fourier converge uniformément sur \(\mathbb R\). Par parité

   \[\vert\cos(t)\vert =\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=1}^Na_n\cos(nt) +{a_0\over 2}\right) \quad\text{ uniformément en } t\in[-\pi,\pi].\]

   Il est alors facile de vérifier que pour tout \(n\in\mathbb N,\ \cos(nt)\) est un polynôme en \(\cos(t)\) (écrire \(\cos(nt)=re\left(\left(\cos(t)+i\sin(t)\right)^n\right)\) et dans ce dernier terme les sinus apparaissent sous une puissance paire, il ne reste plus qu’à écrire \(\sin^{2k}(t)=\left(1-\cos^2(t)\right)^k\)...). Ainsi \(\vert\cos(t)\vert\) est limite uniforme sur \([-\pi,\pi]\) de polynômes en \(\cos(t)\), il ne reste plus qu’à remplacer \(\cos(t)\) par \(x\) pour conclure.

2. On peut obtenir la formule \((\bigstar)\) avec les séries entières en écrivant \((1+x)^\alpha=\exp\left(\alpha\log(1+x)\right)\), on peut tout aussi bien le faire en montrant dans la formule de Taylor-Lagrange appliquée à \((1+x)^\alpha\) à l’ordre \(N\), que le reste \(r_N(x)\) tend vers zéro lorsque \(N\) tend vers l’infini et ceci pour tout \(x\in]-1,1[\) en effet

   \[\begin{aligned} (1+x)^\alpha&=1+\sum_{n=1}^N {{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}\over{n!}}x^n +{{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-N)}\over{(N+1)!}}x^{N+1}(1+x\theta_x)^{\alpha-N-1}\\ &=1+\sum_{n=1}^N {{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}\over{n!}}x^n+r_N(x) \end{aligned}\]

   où \(0<\theta_x<1\). Or, pour tout \(x\in]-1,1[\)

   \[\lim_{N\to\infty} {{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-N)}\over{(N+1)!}}x^{N+1}=0\]

   de sorte que pour s’assurer que \(\lim_N r_N(x)=0\), il suffit de montrer que la suite \(\left((1+x\theta_x)^{\alpha-N-1}\right)_N\) est bornée. Et ceci lorsque \(x\in[0,1[\) résulte des inégalités

   \[\begin{cases} 1\leq (1+x\theta_x)^\alpha \leq 2^\alpha\quad&\text{si }\alpha\geq 0 \\ 2^\alpha\leq (1+x)^\alpha\leq (1+x\theta_x)^\alpha\leq 1\quad&\text{si }\alpha<0\\ (1+x\theta_x)^{-N}\leq 1 \end{cases}\]

   d’où \((\bigstar)\) pour \(x\in[0,1[\) et donc sur \(]-1,1[\) puisque le domaine de convergence d’une série entière est toujours une boule.

   Pour obtenir \((\text{$\star$})\) il n’y a plus qu’à écrire

   \[\vert x\vert=\sqrt{1-(1-x^2)}\]

   et appliquer \((\bigstar)\) avec \(\alpha=1/2\).

3. La troisième question est plus classique, consultez votre livre de chevet favori.

   Remarques : -On peut s’étonner d’un tel engoument pour approcher la valeur absolue : c’est un tic historique probablement du à la preuve trés ingénieuse que le jeune H.Lebesgue (23 ans) donne en 1898 du célèbre théorème de Weierstrass (toute fonction continue sur un intervalle \([a,b]\) est limite uniforme de polynômes), pour cela, il commence par observer qu’il est facile d’approcher une fonction continue par une application continue affine par morceaux, qu’un tel objet est combinaison linéaire de translations de \(\vert x\vert\) ; les polynômes étant invariant par translation, il suffit donc d’approcher uniformément \(\vert x\vert\) sur tout voisinage de l’origine. Ce que fit Lebesgue en exhibant justement celle de la seconde série (ce fut sa première publication...).

   -Dans la seconde question, la théorie des séries entières assure la convergence uniforme (et même normale) seulement sur tout \([-a,a]\subset]-1,1[\). En fait comme pour les autres exemples, la convergence est uniforme sur \([-1,1]\), elle résulte de......................................