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[ID: 2897] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:30] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

approximation, convergence uniforme
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:30

Soit \((P_n)_n\) une telle suite et \(f\) sa limite. La suite \((P_n)_n\) satisfait donc au critère de Cauchy uniforme sur \(\mathbb R\), en particulier avec \(\varepsilon=1\)

\[\left( \exists N\in\mathbb N\ :\ n\geq N\ \&\ p\in\mathbb N\ \right) \Longrightarrow \left( \sup_{x\in\mathbb R}\vert P_n(x)-P_{n+p}(x)\vert\leq 1 \right)\]

en particulier pour \(p\in\mathbb N\), le polynôme \(P_N-P_{N+p}\) borné sur \(\mathbb R\) est constant

\[\forall\,p\in\mathbb N\ :\ \exists\,C_p\in\mathbb R\ :\ P_N-P_{N+p}=C_p\qquad(\star)\]

et puisque

\[\lim_p P_{N+p}(x)=f(x),\quad\forall\,x\in\mathbb R,\]

en faisant \(x=0\) dans (\(\star\)) on en déduit que la suite \((C_p)_p\) converge

\[\lim_p \left(P_N(0)-P_{N+p}(0)\right)=P_N(0)-f(0)=l=\lim_p C_p.\]

On passe alors à la limite sur \(p\) dans (\(\star\)) pour tout réel \(x\in\mathbb R\) arbitraire :

\[l=\lim_p C_p=\lim_p \left(P_N(x)-P_{N+p}(x)\right)=P_N(x)-f(x)\]

soit

\[f(x)=l+P_N(x),\quad x\in\mathbb R.\quad\]