([rms] 1993/94 et 1997/98.)

  1. Soit \(f\ :\ [0,1]\to\Bbb R\) une application bornée. Montrer que la série de fonctions \(\sum_{n\geq 0}\,t^nf(t)\) converge uniformément sur \([0,1]\) si et seulement si \(f\) est dérivable en \(t=1\) avec \(f(1)=f'(1)=0\).

  2. Soit \(f\ :\ [0,1]\to\Bbb R\) une application bornée. Étudier la simple puis uniforme convergence de la série \(\sum_{n\geq 0}(-1)^nt^nf(t)\) sur \([0,1[\).


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[ID: 2895] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:30] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Étude des séries de fonctions \(\sum_{n\geq 0}\,t^nf(t)\) et \(\sum_{n\geq 0}(-1)^nt^nf(t)\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:30
  1. Notons pour \(n\in\mathbb N\)

    \[f_n(t)= \begin{cases} [0,1]&\longrightarrow\quad\mathbb R\\ t&\longmapsto \quad t^nf(t) \end{cases}\]

    -Remarquons qu’il y a bien sûr simple convergence sur \([0,1[\) de somme \(f(t)\over1+t\). En outre il y aura convergence en \(t=1\) si, et seulement si, \(f(1)=0\). En résumé la série est simplement convergente sur \([0,1]\) si, et seulement si, \(f(1)=0\) et

    \[\sum_{n\geq 0}t^nf(t)= \begin{cases} {f(t)\over 1+t} &\quad\text{si }\ t\in[0,1[\\ 0&\quad\text{si }\ t=1. \end{cases}\]

    -Supposons \(f(1)=0\) et désignons par \(R_n\) le reste d’ordre \(n\) de la série simplement convergente \(\sum_{n\geq 0}f_n\). On a donc :

    \[\begin{cases} R_n(t)& =\ \sum_{k\geq n+1}t^kf(t)={t^{n+1}f(t)\over 1-t} = -t^{n+1}{f(t)-f(1)\over t-1},\ t\in[0,1[\\ R_n(1) &=\ 0 \end{cases}\]

    \(\rightsquigarrow\quad\) Supposons \(f\) dérivable en \(t=1\) avec \(f'(1)=0\) et soit \(\varepsilon>0\), il existe \(0<\eta<1\) tel que

    \[\forall\,t\in[1-\eta,1[,\quad\left\vert{f(t)-f(1)\over t-1}\right\vert\leq \varepsilon,\]

    de sorte que

    \[\forall\,n\in\mathbb N,\ \forall\,t\in[1-\eta,1[ \quad :\quad \left\vert R_n(t)\right\vert\leq t^{n+1}\varepsilon\leq \varepsilon. {(1)}\]

    D’autre part, l’application \(t\mapsto{f(t)-f(1)\over t-1}\) est bornée sur \([0,1-\eta,]\), il existe donc \(M>0\) tel que

    \[\forall\,t\in[0,1-\eta],\quad \left\vert{f(t)-f(1)\over t-1}\right\vert\leq M\]

    soit

    \[\forall\,n\in\mathbb N,\ \forall\,t\in[0,1-\eta]\quad :\quad \left\vert R_n(t)\right\vert\leq M(1-\eta)^{n+1}.{(2)}\]

    Puisque \(0<\eta<1\), \(\lim_{n\to+\infty}(1-\eta)^{n+1}M=0\) si bien qu’en combinant \((1),\ (2)\) et \(R_n(1)=0\) on peut écrire

    \[\forall\,\varepsilon>0,\ \exists\,N\in\mathbb N,\ \forall\,n\geq N\ \Longrightarrow \sup_{t\in[0,1]}\vert R_n(t)\vert\leq\varepsilon\]

    qui équivaut à l’uniforme convergence sur \([0,1]\) de \(\sum_n f_n\).

    \(\rightsquigarrow\quad\) Réciproquement, supposons la convergence uniforme sur \([0,1]\) et soit \(\varepsilon>0\) fixé. Il existe \(N\in\mathbb N\) tel que

    \[n\geq N\ \Longrightarrow\ \vert R_n(t)\vert \leq\varepsilon\]

    soit

    \[\forall\,t\in[0,1]\ :\ \left\vert{f(t)-f(1)\over t-1}\right\vert\leq\varepsilon t^{-(N+1)} {(3)}\]

    et comme \(\lim_{t\to 1_-}t^{-(N+1)}=1\) il existe \(0<\eta<1\) tel que

    \[1-\eta<t\leq 1 \quad\Longrightarrow\quad 0\leq t^{-(N+1)}\leq 2{(4)}\]

    \((3)\) et \((4)\) nous donnent

    \[\forall\,\varepsilon>0,\ \exists\,\eta\in]0,1[\quad :\quad \left\vert{f(t)-f(1)\over t-1}\right\vert\leq 2\varepsilon\]

    i.e. \(f\) est dérivable en \(t=1\) et \(f'(1)=0\)

    En résumé, la série \(\sum_{n\geq 0}t^nf(t)\) converge uniformément sur \([0,1]\) si, et seulement si \(f\) est dérivable au point \(t=1\) avec \(f(1)=f'(1)=0\).

  2. -Pour \(0\leq t<1\) la série est bien évidement convergente avec \(\sum_{n\geq 0}(-1)^nt^nf(t)={f(t)\over 1+t}\). Pour \(t=1\) la série converge si et seulement si, \(f(1)=0\).

    -Étudions maintenant la convergence uniforme sur \([0,1[\). Le reste de la série est

    \[R_n(t):=\sum_{k\geq n+1}(-1)^kt^kf(t)={(-t)^{n+1}f(t)\over 1+t},\]

    si bien que (\(1\over 1+t\) variant sur \([0,1[\) entre \(1/2\) et \(1\)) la série converge uniformément sur \([0,1[\) si, et seulement si, la suite \((t^{n+1}f(t))_n\) tend uniformément vers zéro sur \([0,1[\). Supposons que \(f\) tende vers \(0\) en \(1\) : pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(0<\eta<1\) tel que

    \[1-\eta<t<1\quad\Longrightarrow \vert f(t)\vert\leq\varepsilon.\]

    Par ailleurs, \(f\) est bornée sur \([0,1-\eta]\) :

    \[\exists\, M>0\ :\quad \vert f(t)\vert\leq M,\quad\forall\,t\in[0,1-\eta]\]

    soit

    \[\vert R_n\vert\leq {\max\{\varepsilon,M(1-\eta)^{n+1}\}\over1+t}\leq 2\varepsilon, \quad\text{pour}\ n\ \text{assez grand}\]

    d’où la convergence uniforme sur \([0,1[\) et donc sur \([0,1]\) si on pose \(f(1)=0\).

    -Supposons maintenant la convergence uniforme sur \([0,1[\), en particulier pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un entier \(N\in\mathbb N\) tel que

    \[n>N \quad\Longrightarrow\quad \vert t^{n+1}f(t)\vert\leq \varepsilon,\quad \forall\,t\in[0,1[\]

    et posant \(\eta=1-2^{-{1\over n+1}}\) on a \(\vert f(t)\vert\leq 2\varepsilon,\ \forall\,t\in[1-\eta,1[\), autrement dit

    \[\lim_{t\to1_-}f(t)=0\]

    -En résumé, la série converge uniformément sur \([0,1[\) si, et seulement si \(\lim_{t\to1_-}f(t)=0\). Si par ailleurs \(f(1)=0\) la convergence est alors uniforme sur \([0,1]\).


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