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[ID: 2893] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:30] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Convergence uniforme et convergence continue
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:30

1. Si la suite \((f_n)_n\) converge continuement vers \(f\) s ur \(A\) et si pour \(x\in A\) on considère la suite constante \(x_n=x\) alors : \[f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x_n)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)\] i.e. \((f_n)_n\) est simplement convergente sur \(A\) vers \(f\).

2. Soit donc \((f_{n_k})_k\) une sous-suite de la suite \((f_n)_n\) et \((x_n)_n\) une suite dans \(A\) convergente vers \(x\in A\). Considérons alors la suite \((y_m)_m\) définie par \[y_m=\begin{cases} x_1\quad &\text{pour}\quad 1\leq m\leq n_1,\\ x_2\quad &\text{pour}\quad n_1< m\leq n_2,\\ \dots\quad & ..........\\ x_k\quad &\text{pour}\quad n_k< m\leq n_{k+1}\\ \dots\quad & .......... \end{cases}\] La suite \((y_m)_m\) est bien entendu encore convergente vers \(x\) et on a donc \[f(x)=\lim_{m\to\infty}f_m(x_m)\quad\implies\quad f(x)=\lim_{k\to\infty}f_{n_k}(y_{n_k})=\lim_{k\to\infty}f_{n_k}(x_k).\]

3. Avec la première question, si \((f_n)_n\) converge continuement vers \(f\) sur \(A\), elle converge simplement sur \(A\) vers \(f\). Montrons que \(f\) est continue sur \(A\) : soit \(x\in A,\ (x_n)_n\subset A\) une suite convergente vers \(x\). Pour tout \(\varepsilon>0\), par la convergence de \((f_n(x_1))_n\) vers \(f(x_1)\) il existe \(n_1\) (qui à priori dépend de \(x_1\)) tel que \[\vert f_{n_1}(x_1)-f(x_1)\vert\leq \dfrac{\varepsilon}{2}.\] De même, il existe \(n_2>n_1\) tel que \[\vert f_{n_2}(x_2)-f(x_2)\vert\leq \dfrac{\varepsilon}{2}.\] En réitérant ce processus, on construit une suite strictement croissante d’entiers vérifiant \[\vert f_{n_k}(x_k)-f(x_k)\vert\leq \dfrac{\varepsilon}{2}\quad\forall\,k\in\mathbb N.{(1)}\] Mais avec la question précédente \(\lim_{k\to\infty}f_{n_k}(x_k)=f(x)\), si bien qu’il existe aussi un entier \(k_0\) tel que \[\vert f_{n_k}(x_k)-f(x)\vert\leq \dfrac{\varepsilon}{2},\quad\forall\,k\geq k_0.{(2)}\] Finalement \((1)\) et \((2)\) assurent que \[\vert f(x_k)-f(x)\vert \leq \vert f_{n_k}(x_k)-f(x_k)\vert + \vert f_{n_k}(x_k)-f(x)\vert\leq \varepsilon\quad\forall\,k\geq k_0\] et \(f\) est continue au point \(x\), elle est donc continue sur \(A\).

4. -Supposons maintenant que la suite \((f_n)_n\) converge uniformément sur \(A\) vers une fonction continue \(f\) (les fonctions \(f_n\) n’étant pas continues, l’hypothèse de continuité sur \(f\) est essentielle vu la question précédente) et montrons que la convergence est continue sur \(A\). Soit donc \((x_n)_n\subset A\) une suite convergente vers \(x\in A\). Soit \(\varepsilon>0\), par convergence uniforme sur \(A\) nous avons \[\vert f_n(x_n)-f(x_n)\vert\leq \sup_{y\in A}\vert f_n(y)-f(y)\vert \leq\dfrac{\varepsilon}{2},\quad\forall\,n\geq n_0.{(3)}\] Et par continuité de \(f\) \[\vert f(x_n)-f(x)\vert\leq\dfrac{\varepsilon}{2},\quad\forall\,n\geq n_1.{(4)}\] Ainsi, pour \(n\geq\max\{n_0,n_1\}\), nous avons vu \((3)\) et \((4)\) \[\vert f_n(x_n)-f(x)\vert\leq \vert f_n(x_n)-f(x_n)\vert+\vert f(x_n)-f(x)\vert\leq\dfrac{\varepsilon}{2}\] d’où la convergence continue sur \(A\).

   -La réciproque est fausse. Considérons par exemple \(A=]0,1[\) et \(f_n(x)=x^n\). Il est facile de vérifier que la suite \((f_n)_n\) simplement convergente sur \(]0,1[\) vers la fonction \(f\) identiquement nulle n’est pas uniformément convergente sur \(]0,1[\). Toutefois cette suite converge continuement sur \(]0,1[\) vers \(f\) car pour toute suite \((x_n)_n\subset]0,1[\) convergente vers \(x\in]0,1[\) il existe \(0<a<1\) tel que \(0<x_n<a\) de sorte que \[\vert f_n(x_n)-f(x)\vert=\vert f_n(x_n)\vert\leq a^n\] et donc \[\lim_{n\to\infty}f_n(x_n)=0=f(x).\]

5. -la condition nécéssaire \((\Rightarrow)\) à été établie lors de la question précédente.

   -Pour la condition suffisante \((\Leftarrow)\), avec la question 2), nous savons déja que la limite \(f\) est continue sur \(K\). Supposons maintenant que notre suite \((f_n)_n\) ne converge pas uniformément sur \(K\) : il existe donc \(\varepsilon_0>0\), une suite \((n_k)_k\) d’entiers et une suite \((x_k)_k\) dans \(K\) tels que \[\forall\,k\in\mathbb N\ :\qquad\vert f_{n_k}(x_k)-f(x_k)\vert\geq\varepsilon_0.{(5)}\] Comme \(K\) est compact on peut supposer (quitte à extraire une sous-suite) que la suite \((x_k)_k\) converge vers \(x\in K\). Avec la question 1), il existe alors \(N_0\in\mathbb N\) tel que \[\vert f_{n_k}(x_k)-f(x)\vert\leq\dfrac{\varepsilon_0}{3},\quad\forall\,n\geq N_0.{(6)}\] Par continuité de \(f\), il existe \(N_1\in\mathbb N\) tel que \[\vert f(x_k)-f(x)\vert\leq\dfrac{\varepsilon_0}{3},\quad\forall\,n\geq N_1,{(7)}\] si bien qu’en combinant \((5),(6)\) et \((7)\) on obtient pour \(n\) assez grand \[\varepsilon_0\leq\vert f_{n_k}(x_k)-f(x_k)\vert\leq \vert f_{n_k}(x_k)-f(x)\vert+ \vert f(x)-f(x_k)\vert\leq\dfrac{2\varepsilon_0}{3}\] ce qui est absurde.