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[ID: 2891] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:30] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Séries entières et convergence uniforme
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:30

1. (1) \(\implies\) 2)) : C’est la conséquence d’un corollaire presque immédiat (mais essentiel) du critére de Cauchy uniforme : Soient \(X\) un espace topologique, \(E\) un espace de Banach ; alors toute suite de fonctions \((f_n)_n\subset\mathscr C(X,B)\) qui converge uniformément sur une partie \(Y\subset X\) converge encore uniformément sur \(\overline Y\). Comme justification il suffit de remarquer que par continuité des applications \(f_n\), le critère de Cauchy uniforme \[\forall\,\varepsilon>0,\ \exists\, n_\varepsilon\ :\ m,n\geq n_\varepsilon\ \implies \sup_{x\in Y}\Vert f_n(x)-f_m(x)\Vert_E\leq \varepsilon\] implique \[\forall\,\varepsilon>0,\ \exists\, n_\varepsilon\ :\ m,n\geq n_\varepsilon\ \implies \sup_{x\in \overline{Y}}\Vert f_n(x)-f_m(x)\Vert_E\leq \varepsilon\]

2. Les implications (2) \(\implies\) )3) et (3) \(\implies\) 2)) sont évidentes.

3. Il suffit donc par exemple d’établir (3) \(\implies\) 2)) : Par convergence uniforme sur le cercle unité, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) tel que \(n\geq n_\varepsilon\ \implies \ \vert s_n(e^{i\theta})\vert=\vert\sum_{n_\varepsilon}^na_ke^{ik\theta}\vert<\varepsilon\). On va effectuer une transformation d’Abel : soit \(0\leq r\leq 1\) et \(n\geq n_\varepsilon+1\), pour tout \(\theta\in\mathbb R\) \[\begin{aligned} \left\vert \sum_{n_\varepsilon+1}^n a_kr^k e^{ik\theta}\right\vert &=\left\vert\sum_{n_\varepsilon+1}^n r^k (s_k(e^{i\theta})-s_{k-1}(e^{i\theta}))\right\vert\\ &=\left\vert -r^{n_\varepsilon+1}s_{n_\varepsilon}(e^{i\theta})+r^ns_n(e^{i\theta})+\sum_{n_\varepsilon+1}^n s_k(e^{i\theta})(r^k-r^{k+1})\right\vert\\ &\leq \left\vert r^{n_\varepsilon+1}s_{n_\varepsilon}(e^{i\theta})\right\vert+\left\vert r^ns_n(e^{i\theta})\right\vert+\sum_{n_\varepsilon+1}^n (r^k-r^{k+1})\left\vert s_k(e^{i\theta})\right\vert\\ &\leq \varepsilon\left[ r^{n_\varepsilon+1}+r^n+\sum_{n_\varepsilon+1}^n (r^k-r^{k+1})\right]\\ &\leq 2\varepsilon r^{n_\varepsilon+1}\leq 2\varepsilon \end{aligned}\] Le critère de Cauchy uniforme est donc bien vérifié sur \(\overline{D(0,1)}\), soit 2).

   Remarque : Le candidat à l’agrégation externe peut régler l’implication délicate (3) \(\implies\) 2)) trés simplement en invoquant le principe du maximum.