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[ID: 2889] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:30] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Limite d’une suite via les séries entières
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:30

Par une recurrence immédiate \(0<a_n\leq 1,\ \forall\,n\in\mathbb N\). Le rayon de convergence de la série génératrice associée \(f(x)=\sum_{n\geq 0}a_n x^n\) est donc supérieur ou égal à \(1\) et on nous demande de calculer \(f(1/2)\). Avec la formule de récurrence \[\begin{aligned} f'(x)&=\sum_{n\geq 0}(n+1)a_{n+1}x^n=\sum_{n\geq 0}\sum_{k=0}^n\dfrac{a_k}{n-k+2}x^n\\ &=\sum_{k\geq 0}a_k x^k\sum_{n\geq k}\dfrac{x^{n-k}}{n-k+2}=f(x)\sum_{m\geq 0}\dfrac{x^m}{m+2}. \end{aligned}\] Par conséquent comme \(f(0)=1\) et \(f(x)>0\) sur \(]0,1[\) : \[\log(f(x))=\log(f(x))-\log(f(0))=\int_0^x\dfrac{f'(t)}{f(t)}dt=\int_0^x \sum_{m\geq 0}\dfrac{t^m}{m+2}dt=\sum_{m\geq 0}\dfrac{x^{m+1}}{(m+1)(m+2)}\] l’échange intégrale/série étant justifié par la normale convergence de la série entière sur \([0,x]\subset [0,1[\) , ainsi \[\begin{aligned} \log(f(x))&=\sum_{m\geq 0}\dfrac{x^{m+1}}{(m+1)(m+2)}=\sum_{m\geq 0}\left( \dfrac{x^{m+1}}{m+1}-\dfrac{x^{m+1}}{m+2}\right) \\ &=1+\left( 1-\dfrac{1}{x}\right) \sum_{m\geq 0}\dfrac{x^{m+1}}{m+1}=1+\left( 1-\dfrac{1}{x}\right)\log\left( \dfrac{1}{1-x}\right) \end{aligned}\] soit \(\log(f(1/2))=1-\log(2)\) et finalement \(f(1/2)=e/2\).