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[ID: 2887] [Date de publication: 9 novembre 2022 22:30] [Catégorie(s): Suites et séries de fonctions, séries entières ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Étude d’une série de fonctions
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 22:30

Soit \(x\in [0,1]\).

Supposons qu’il existe \(n_0\in\mathbb N\) tel que \(f_{n_0}(x)\neq 0\) , avec (\(\star\)) on a \[\vert f_n(x)f_{n_0}(x)\vert\leq 2^{-\vert n-{n_0}\vert},\quad\forall\,n\in\mathbb N,\] soit \[\vert f_n(x)\vert\leq 2^{-n}\dfrac{2^m}{\vert f_{n_0}(x)\vert},\quad\forall\,n\in\mathbb N\] d’où la convergence absolue de la série \(\sum_n f_n(x)\) par critère de comparaison.

Sinon \(f_n(x)=0\) pour tout \(n\in\mathbb N\) et la convergence au point \(x\) est évidente.

Avec la question précédente la convergence simple est absolue et la suite \((\vert f_n\vert)_n\) vérifie aussi (\(\star\)) : comme \(\vert\sum_n f_n\vert\leq \sum_n\vert f_n\vert\) il est donc suffisant de supposer les fonction \(f_n\) positives.

Soit \(x\in [0,1]\) fixé, posons pour \(k\in\mathbb N\) \[I_k=\left\{\,n\in\mathbb N\ :\ \dfrac{1}{2^{k+1}}< f_n(x)\leq \dfrac{1}{2^{k}}\right\}.\] Soient \(n,p\in I_k\) on a \[\dfrac{1}{2^{2k+2}}< f_n(x)f_p(x)\leq \dfrac{1}{2^{\vert n-p\vert}}\] soit \(\vert n-p\vert\leq 2k+2\) qui implique \(\text{card}(I_k)\leq 2k+2+1\). La série \(\sum_n f_n(x)\) étant à termes positifs on peut sommer par paquets : \[0\leq f(x)=\sum_{n\geq 0} f_n(x)=\sum_{n\geq 0}\sum_{k\in I_n} f_k(x)\leq \sum_{n\geq 0} (2n+3)\cdot\dfrac{1}{2^{n}}=10.\] \(f\) est donc bornée par \(10\) sur \([0,1]\) (bien remarqer que nous n’avons pas utilisé la continuité des applications \(f_n\)).

Montrons qu’en général il n’y a pas convergence uniforme sur \([0,1]\). Pour cela, considérons une suite strictement croissante \(x_0=0<x_1<x_2<\dots <1\) de limite \(1\) et les applications \(f_n\in\mathscr C([0,1])\) définies de la manière suivante :

\(\rightsquigarrow\) \(0\leq f_n\leq 1\),

\(\rightsquigarrow\) \(f_n\equiv 0\) sur \([0,1]\setminus [x_n,x_{n+1}]\) et \(f_n(y_n)=1\) où \(y_n =(x_n+x_{n+1})/2\),

\(\rightsquigarrow\) \(f_n\) est affine sur \([x_n, y_n]\) et \([y_n,x_{n+1}]\).

Il n’est pas difficile de vérifier que la suite \((f_n)_n\) ainsi définie vérifie (\(\star\)), en effet les supports des applications \(f_n\) étant mutuellement disjoints \[\vert f_n(x)f_m(x)\vert=\begin{cases} 0&\text{si}\ n\neq m\\ \vert f_n(x)\vert^2\leq 1&\text{si}\ n=m\end{cases} \quad \leq 2^{-\vert n-m\vert},\ \forall\,n,m\in\mathbb N.\] Maintenant, comme (toujours par disjonction des supports) \[f(x)=\sum_{k\geq 0}f_k(x)=f_n(x) \quad\text{où}\quad x\in[x_n,x_{n+1}],\] en particulier \[f(y_n)=1,\quad\forall\,n\in\mathbb N.\] Ainsi \[f(0)=0,\quad \lim_n y_n=1\quad \text{et}\quad \lim_n f(y_n)=1,\] \(f\) est donc discontinue au point \(1\) et la convergence ne peut être uniforme sur \([0,1]\).

Remarque : Dans l’exemple précédent, \(f\) est discontinue au point \(1\) en lequel toutes les applications \(f_n\) s’annulent ; il est en fait assez facile de vérifier qu’en un point \(x\in[0,1]\) où il existe un entier \(n\) tel que \(f_n(x)\neq 0\) la série \(\sum_n f_n\) est normalement convergente sur un voisinage de \(x\) et \(f\) est par suite continue au point \(x\).