CMJ, 5-1986.

Utiliser le théorème des accroissements finis pour établir la divergence de la série de terme général \(1/k\log(k)\log(\log(k))\). Estimer \(\sum_{m\leq k\leq n}1/k\log(k)\log(\log(k))\), conclusion ?


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[ID: 2885] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:55] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Divergence douce de \(\sum_k\,1/k\log(k)\log(\log(k))\) par le TAF
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:55

Le théorème des accroissement finis appliqué à \(x\mapsto \log(\log(\log(x)))\) sur l’intervalle \([k,k+1]\) assure que pour tout entier \(k\geq 3\), il existe \(c_k\in]k,k+1[\) tel que \[\dfrac{\log(\log(\log(k+1)))-\log(\log(\log(k)))}{(k+1)-k}= \dfrac{1}{c_k\log(c_k)\log(\log(c_k))},\] soit, pour tout \(k\geq 3\) \[\dfrac{1}{(k+1)\log(k+1)\log(\log(k+1))}<\log(\log(\log(k+1)))-\log(\log(\log(k)))<\dfrac{1}{k\log(k)\log(\log(k))}.\] En sommant ces inégalités pour \(3\leq m\leq k\leq n\) il vient \[\sum_{k=m+1}^{n+1}\,\dfrac{1}{k\log(k)\log(\log(k))}< \log(\log(\log(n+1)))-\log(\log(\log(m))) <\sum_{k=m}^{n}\,\dfrac{1}{k\log(k)\log(\log(k))}.\] Si \(m=3\), en faisant tendre \(n\) vers \(+\infty\) l’inégalité de droite ci-dessus assure la divergence de notre série.

Il est trés intéressant de remarquer que l’inégalité de gauche nous donne des informations sur l’extrème lenteur de la divergence de la série, par exemple la somme des \(9\) millions de termes entre \(10^6\) et \(10^7\) est majorée par (i.e. pour \(m=10^6-1,\ n=10^7-1\)) : \[\sum_{k=10^6}^{10^7}\,\dfrac{1}{k\log(k)\log(\log(k))}< \log(\log(\log(10^7)))-\log(\log(\log(10^6-1)))\approxeq 0.057.\] En procédant de même tout ceci marche en itérant autant de fois le \(\log\) que l’on veut, par exemple, on a aussi \[\sum_{k=10^6}^{10^7}\,\dfrac{1}{k\log(k)}\approxeq 0.154\ \text{et}\ \sum_{k=10^6}^{10^7}\,\dfrac{1}{k}\approxeq 2.303.\]  


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