CMJ, 1-1994.

Montrer que pour tout \(x\in]0,1]\) : \(1+ex>e^x>1+x\). En déduire que pour tout \(n\in\mathbb N\) et \(x\in]0,1]\) : \[1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dots+\dfrac{x^n}{n!}+\dfrac{ex^{n+1}}{(n+1)!} >e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dots+\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\] et enfin que \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\,\dfrac{1}{k!}=e\).


Barre utilisateur

[ID: 2883] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:55] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

\(e=\sum 1/k!\), une preuve élémentaire
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:55

Soit \(0<x\leq 1\), par le théorème des accroissement finis \[\dfrac{e^x-1}{x}=e^c,\quad c\in]0,x[,\] d’où \[1+ex>e^x>1+x,\quad\forall\, x\in]0,1].\] Intégrons maintenant ces inégalités \[\int_0^x\, (1+et)dt>\int_0^x\,e^tdt>\int_0^x\,(1+t)dt\] on a \[1+x+\dfrac{ex^2}{2}>e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2},\quad\forall\, x\in]0,1].\] Une nouvelle intégration nous donne \[1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{ex^3}{3!}>e^x >1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!},\quad\forall \,x\in]0,1],\] et ainsi de suite ; on a donc pour tout entier \(n\) : \[1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dots+\dfrac{x^n}{n!}+\dfrac{ex^{n+1}}{(n+1)!} >e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dots+\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}.\] En particulier, \(x=1\) donne \[e-\dfrac{1}{(n+1)!}>1+1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dots+\dfrac{1}{n!} >e-\dfrac{e}{(n+1)!},\quad\forall\,n\in\mathbb N,\] et il ne reste plus qu’à faire tendre \(n\) vers l’infini pour conclure.

 Remarque : Bien entendu on peut encore mieux exploiter l’inégalité précédente que l’on peut réecrire sous la forme : \[\dfrac{e}{(n+1)!}>e^x-\sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k!}>\dfrac{1}{(n+1)!},\quad\forall\,n\in\mathbb N,\] soit \[e^x=\sum_{k=0}^\infty\dfrac{x^k}{k!},\quad\forall\, x\in]0,1].\]


Documents à télécharger

\(e=\sum 1/k!\), une preuve élémentaire
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice