1. Montrer que le produit de Cauchy des deux séries convergentes de termes général \(a_n=b_n=(-1)^{n+1}/\sqrt{n+1}\) diverge.

  2. Montrer que le produit de Cauchy des deux séries grossièrement divergentes de termes généraux \(a_0=3,\ a_n=3^n,\ b_0=-2,\ b_n=2^n,\ n\in\mathbb N^\star\) est absolument convergent.


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[ID: 2881] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:55] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

À propos du produit de Cauchy
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:55
  1. Le terme général du produit de Cauchy des deux séries (convergentes car alternées) est \[\begin{aligned} c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}&=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k+1}}\cdot \dfrac{(-1)^{n-k+1}}{\sqrt{n-k+1}}\\ &=(-1)^n\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k+1}\sqrt{n-k+1}}, \end{aligned}\] donc \[\vert c_n\vert=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k+1}\sqrt{n-k+1}}\geq \sum_{k=0}^n\dfrac{1}{n+1}=1\] d’où la grossière divergence du produit de Cauchy des deux séries \(\sum_n a_n\) et \(\sum_n b_n\).

  2. Nous avons cette fois-ci \(c_0=-6\) et pour \(n\in\mathbb N^\star\) \[\begin{aligned} c_n= \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}&=3\cdot 2^n+\sum_{k=1}^{n-1}2^k\cdot 3^{n-k}-2\cdot 3^n\\ &=3\cdot 2^n+3^n\cdot \sum_{k=1}^{n-1}\left( \dfrac{2}{3}\right)^k-2\cdot 3^n\\ &=3\cdot 2^n+3^n\cdot \dfrac{2/3-(2/3)^n}{1-2/3}-2\cdot 3^n=0, \end{aligned}\] d’où la convergence absolue du produit de Cauchy.

     Remarque :  Le produit de Cauchy deux séries absolument convergentes est absolument convergent, le produit de Cauchy d’une série absolument convergente et d’une série convergente est convergent, pour le reste tout peut arriver comme on peut le vérifier dans les exemples précédents.


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