Putnam (1949)

En considérant les blocs \(N_l=\{\,k\in\mathbb N \ :\ 2\pi l-\pi/3\ \leq \log(\log(k))\leq 2\pi l\}\), établir la divergence de la série \(\quad\sum_{n\geq 2}\dfrac{\cos(\log(\log(n)))}{\log(n)}.\)


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[ID: 2877] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:55] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Divergence de la série \(\sum_{n\geq 2}\frac{\cos(\log(\log(n)))}{\log(n)}\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:55

L’indication est claire : si la série converge, par le critère de Cauchy elle ne peut admettre de blocs de termes consécutifs de somme arbitrairement grande. Observons donc les quantités \[S_l=\sum_{k\in N_l}\dfrac{\cos(\log(\log(n)))}{\log(n)}.\] (on peut remarquer que la croissance de \(k\mapsto \log_2(k)\) assure que \(N_k\) est bien constitué d’éléments consécutifs) On peut aussi écrire \[N_l=\{\,k\in\mathbb N : \exp(\exp(2\pi l-\pi/3))\leq k\leq \exp(\exp(2\pi l))\}\] et il en résulte \[\begin{aligned}\sharp(N_l)&\geq \exp(\exp(2\pi l))-\exp(\exp(2\pi l-\pi/3))-1\\ &=\exp(\exp(2\pi l))-\exp(\alpha\exp(2\pi l))-1\end{aligned}\]\(0<\alpha=\exp(-\pi/3)<1\). Ainsi, pour \(k\in N_l\) on a la minoration \[\dfrac{\cos(\log_2(k))}{\log(k)}\geq \dfrac{\cos(-\pi/3)}{\exp(2\pi l)}=\dfrac{1}{2\exp(2\pi l)},\] d’où \[S_l\geq \dfrac{\exp(\exp(2\pi l))-\exp(\alpha\exp(2\pi l))-1}{2\exp(2\pi l)}.\] Pour conclure il n’y a plus qu’à remarquer que \[\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\exp(x)-\exp(\alpha x)-1}{2x}= \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\exp(x)}{2x}\left[ 1-\exp(x(\alpha-1))-\exp(-x)\right]=+\infty\] (le terme entre crochets tendant vers \(1\) car \(0<\alpha<1\)).


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