[amm], 1984/7.

Montrer que \[\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{F(2^n)} =\dfrac{7-\sqrt{5}}{2},\]\((F(n))_n\) est la suite de Fibonacci : \[F(0)=0, F(1)=1,\quad F(n)=F(n-1)+F(n-2),\quad n\in\mathbb N\setminus\{0,1\}.\]


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[ID: 2875] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:55] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Calcul de \(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{F(2^n)}\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:55

Il est bien connu (donner une référence, [monier], [deswar]...) que \[F(n)=\dfrac{a^n-b^n}{\sqrt{5}},\quad\text{avec}\ a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},\ ab=-1,\] ce qui nous donne (avec l’identité remarquable \(c^2-d^2=(c+d)(c-d)\)) \[\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{F(2^n)}=1+\sqrt{5}\sum_{n=1}^\infty\left[ \dfrac{1}{a^{2^n}-1}-\dfrac{1}{a^{2^{n+1}}-1}\right]=1+\dfrac{\sqrt{5}}{a^2-1}=\dfrac{7-\sqrt{5}}{2}\] aprés télescopage dans la seconde série.


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