Soient \((a_n)_n\) une suite décroissante de réels positifs telle que \(\sum_n\,a_n\) converge, \((b_n)_n\) une suite bornée de réels posititifs. Montrer que la série \[\sum_{n\geq 1}\,(b_1+\dots+b_n)(a_n-a_{n-1})\] converge.


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[ID: 2873] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:55] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Un exercice sur les séries numériques
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:55

Posons \(u_n=(b_1+\dots+b_n)(a_{n-1}-a_n),\ n\geq 2\) et notons \(S_N=\sum_{i=2}^N\,u_i\) ses sommes partielles. Soit \(M>0\) tel que \(\vert b_n\vert\leq M,\ \forall\,n\in\mathbb N\). La suite \((a_n)_n\) étant décroissante on a \(0\leq u_n\leq M(a_{n-1}-a_n)\leq nM(a_{n-1}-a_n)\) d’où \[0\leq S_N\leq M\sum_{i=2}^N\,n(a_{n-1}-a_n)=M\left(a_1+\sum_{i=1}^{N-1}a_i\right) \leq M\left(a_1+\sum_{i=1}^{\infty}a_i\right).\] La suite croissante \((S_N)_N\) est bornée, donc convergente, il en est donc de même de la série \(\sum_{n\geq 1}\,(b_1+\dots+b_n)(a_n-a_{n-1})=-\sum_n\,u_n=-\lim_N S_N\).


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