Soit \(f\ :\ [a,b]\to[a,b]\) une application continue. Pour \(x\in[a,b]\) on définit la suite \((x_n)_n\) par \(x_0=x\) et \(x_{n+1}=f(x_n)\) et on note \(T_x=\{x_n\ :\ n\in\mathbb N\}\). Montrer que \(T_x\) fermé implique \(\rm{card}(\text{T}_x)<+\infty\).


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[ID: 2871] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:55] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Sur le nombre d’éléments d’une suite récurrente
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:55

On procède par contraposée : \(x_n=x_m\) pour \(n>m\) assure que \(T_x\) est fini et alors bien entendu fermé ; on peut donc sans perte de généralité supposer les \(x_n\) deux à deux distincts. \(T_x=\{x_n\ :\ n\in\mathbb N\}\) fermé dans \([a,b]\) est compact : il existe une sous-suite convergente \((x_{n_k})_k\) de limite \(a\in T_x\) et par continuité de \(f\) : \(x_{n_k+1}=f(x_{n_k})\to f(a)\). Ainsi, sauf peut être pour un nombre fini, tous les éléments de \(T_x\) sont des points d’accumulation. On peut donc supposer, quitte à supprimer le nombre fini de points isolés, que tous les points sont d’accumulation. On peut.........................................................


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